作业03 幂的运算
1.同底数幂的乘法性质:(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（1）公式的推广：（都是正整数）.
（2）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2.幂的乘方法则: (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（1）公式的推广： (，均为正整数).
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形.
3.积的乘方法则: (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是底数互为倒数时，计算更简便.
4.同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）。
注意：幂运算中底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
5.零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
6.负整数指数幂：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
7.科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
一、选择题
1．（2023·江苏常州·统考一模）下列各式中，运算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项和同底数幂的运算法则，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不能进行合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；
D、不是同类项，不能进行合并，故D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项，字母和相同字母指数不变，只把系数相加减．
2．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）若，则等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键．
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算法则，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
4．（2023·江苏扬州·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法法则（同底数幂的乘除法法则：底数不变指数相加减）去判断A、C两项，根据合并同类项法则（同类项法则：系数相加字母及指数不变）去判断B项，根据幂的乘方法则（幂的乘方法则：底数不变指数相乘）去判断D项，可得答案．
【详解】解：A. ，故此项错误； B. ，故此项错误；
C. ，故此项错误；D. ，故此项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与合并同类项，同底数幂的乘法与除法，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
5．（2023春·江苏·七年级期末）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示为．故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（2023·河北张家口·统考一模）若，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据负整数指数幂公式求解即可
【详解】解：，．故选C．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握该公式是解题的关键．
二、填空题
7．（2023·天津河西·统考一模）计算：的结果等于_______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
8．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）__________．
【答案】
【分析】根据积的乘方运算的逆用，进行简化运算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方运算的逆用，熟练掌握积的乘方公式是解题的关键．
9．（2023·安徽六安·校考一模）计算：________．
【答案】5
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：，故答案为：5．
【点睛】本题考查零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意非零底数的零指数幂结果为1．
三、解答题
10．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）计算题：
(1)；(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可；
（2）根据积的乘方和幂的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可求解．
【详解】（1）；
（2）．
【点睛】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，涉及有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．
11．（2022春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）计算
(1)； (2) (3)
(4)；(5) (6)
【答案】(1)2(2)0(3)4(4)(5)(6)
【分析】（1）根据零指数幂和负整指数幂、有理数的乘方法则解答；
（2）由同底数幂的乘法法则、幂的乘方解答；（3）根据积的乘方的逆运算解题；
（4）利用整体思想，化为同底数幂，再利用同底数幂的乘除法则解答；
（5）由积的乘方法则解答；（6）由同底数幂的乘除法法则解题．
【详解】（1）解：原式==2
（2）原式==0
（3）原式= = =4
（4）原式= = =
（5）原式== =
（6）原式===
【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及零指数幂、负整指数幂、积的乘方及其逆运算、幂的乘除等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2022·江苏·七年级专题练习）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．
(1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）
(2)如果一列火车总共运送了块大理石，每块大理石约重千克，请问这列火车总共运送了约重多少千克的大理石？（结果用科学记数法表示）
【答案】(1)每块大理石的体积为(2)这列火车总共运送了约重千克大理石
【分析】（1）根据长方体体积的计算公式，结合同底数幂的乘法计算法则和科学记数法的表示方法，计算即可；
（2）题干两个数据相乘，再结合同底数幂的乘法计算法则计算即可．
（1）根据题意，得：
；
答：每块大理石的体积为．
（2）根据题意，得：．
答：这列火车总共运送了约重千克大理石．
【点睛】本题考查科学记数法，同底数幂的乘法的实际应用．掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
一、选择题
1．（2023·广西防城港·统考一模）已知，，则的值是（ ）
A．35 B．24 C．12 D．2
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的逆运算得出，，再根据即可求解．
【详解】解：，，，故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
2．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙
【答案】D
【分析】将变形为，根据即可判断甲；根据即可判断乙；根据，，即可判断丙．
【详解】解：∵，又∵，∴，故甲正确；
∵，∴，故乙正确；
∵，，
又∵，∴，即，故丙正确；
综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，和同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，准确计算．
3．（2023春·江苏七年级课时练习）已知：，则M是（ ）位正整数．
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】B
【分析】利用积的乘方的法则进行求解即可．
【详解】解：M＝211×58＝23×28×58＝8×（2×5）8＝8×108．故M是9位正整数．故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方公式的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．
【详解】解：∵，，．
∴，，，∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．
二、填空题
5．（2023·江苏·七年级专题练习）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是_____．
【答案】yang8888
【分析】根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．
【详解】解：根据前面两个等式，
王 =wang1314，浩 =hao31520，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
（x2y）4（y2z44）2=x8y4 y4z88=x8y8z88，
∴阳 =yang8888．故答案为：yang8888．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．
6．（2023春·江苏·七年级期末）若am=20，bn=20，ab=20，则=______．
【答案】1
【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案．
【详解】解：∵，∴，即，
∵，∴，∴，
又∵，∴，，
∴，∴，∴，故答案为：1．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．
三、解答题
7．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）阅读理解：
在学习同底数幂的除法公式（）时，有一个附加条件m>n，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究m = n和m < n时，同底数幂的除法．
当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得或=1，
即；同理可得，当时， 或=1．
由此启发，我们规定：（a ≠ 0）．
当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得或，即；同理可得，当a ≠ 0时，或， 即．
由此启发，我们规定： （a ≠ 0，p是正整数）．
根据以上知识，解决下列问题：
(1)填空：= ， ；(2)若，求m的值；(3)若，求x的值．
【答案】(1)1，(2)(3)或0或2
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案；
（3）分三种情况：①当，且为任意数时，原方程成立；②当，且为偶数时，原方程成立；③当，且时，原方程成立，解方程即可．
【详解】（1）解：，，故答案为：1，；
（2）解：
∴ 故
（3）解：解：分三种情况
①当，且为任意数时，原方程成立． 解得，
②当，且为偶数时， 原方程成立． 解得，
③当，且时，原方程成立． 解得，
综上所述，或0或2．
【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；(2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除．
【答案】(1)3，6；(2)4；(3)证明见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．
【详解】（1）解：，的末尾数字为3；
的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…
的末尾数字是4，的末尾数字是6，
的末尾数字是6；故答案为：3，6；
（2）解：，
∵的末尾数字是6，∴的末尾数字是4；
（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…
的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，
的末尾数字为6；
同理可得：的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；
的末尾数字9，∴的末尾数字是5，
∴能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
9．（2022春·江苏·七年级专题练习）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝　 　；（2）计算：T()+T(-2，16)．
（3）探索：T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）6；（2）1；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据定义解答即可；（3）设T（2，3）=m，T（2，7）=n，T（2，21）=k，可得2m=3，2n=7，2k=21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解：（1）∵26=64，∴T（2，64）=6；故答案为：6；
（2）∵() 3=27，(-2)4=16，∴T(，27)+T( 2，16)=-3+4=1；
（3）相等．理由如下：
设T（2，3）=m，T（2，7）=n，T（2，21）=k，可得2m=3，2n=7，2k=21，
根据3×7=21得：2m 2n=2k，可得m+n=k，
即T（2，3）+T（2，7）=T（2，21）．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
一、选择题
1．（2023·河北沧州·校考三模）已知，则代表的数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法的逆用，将式子进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，代表的数是8，故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的逆运算，熟练掌握同底数幂的逆运算的运算法则是解题的关键．
2．（2022·河南·统考中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝，故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
3．（2022·浙江杭州·七年级期中）如，，是比较，大小（ ）
A． B． C． D．、大小不能正确
【答案】C
【分析】先运用幂的乘方的运算性质先把A和B进行转化变成同底数幂的形式，再进行比较即可．
【详解】解：∵A=，，∴A=B；故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，是100的倍数
∵与100互质∴是100的倍数∴的末尾数字是01
∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，
设：（t为正整数）则：
∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，∴的最小值为10故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
5．（2023春·江苏·七年级期末）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
【答案】D
【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．
【详解】情况一：指数为0，底数不为0 即：a+2=0，2a－1≠0解得：a=－2
情况二：底数为1，指数为任意值 即：2a－1=1 解得：a=1
情况三：底数为－1，指数为偶数即：2a－1=－1，解得a=0 代入a+2=2，为偶数，成立 故答案为：D
【点睛】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．
二、填空题
6．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）若，则的值为______．
【答案】4
【分析】根据同底数幂乘法计算法则可将原等式变为，由此得到，则．
【详解】解：∵，
∴，∴，∴，∴，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法计算，熟知是解题的关键．
7．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，2的乘方的个位数字4个一循环，
，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题关键．
8．（2021·湖南永州·统考中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．
【答案】 2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
【详解】解：∵，∴，，
，故答案为：2021；
∵，即，
∴，∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知整数满足且，则的值为_____．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【详解】∵，3不是10000的公约数，
∴则b=0∴
∵整数满足∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴=-8+0+6+4=2故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
三、解答题
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下面的文字,回答后面的问题：
求的值.
解：令
将等式两边同时乘以5得到:
②-①得:
∴即
问题:(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.
【详解】解：（1）令
将等式两边同时乘以2得到:
②-①得: ∴即
（2）
令
将等式两边同时乘以3得到:
②-①得:
【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.
11．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：
定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，
例如：，那么称2是100的劳格数，记为．
填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；
直接写出______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且，，
根据劳格数的定义：，______，
∵
∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴______，即，
请你把数学研究小组探究过程补全
拓展：根据上面的推理，你认为：______．
【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．
【分析】根据新定义法则进行运算即可．
【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为，
∴，那么称3是1000的劳格数，记为．
∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8；
∵，∴，∵，，∴＝pq，
∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n，
∴＝＋，
即，设，，∴，，
∵，∴＝a－b＝－，即－．
故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．
【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则．
12．（2022秋·江苏八年级课时练习）阅读材料，解决下列问题：
【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记为．若（，，），则n叫做以10为底m的对数，记作：．如：，此时，4叫做以10为底10000的对数，记作：，（规定）．
(1)【解决问题】计算：______；______；______；______；
(2)【解决问题】计算：；
(3)【拓展应用】由（1）知：与之间的数量关系为：______；猜想：______（，）．
【答案】(1)2，3，5，20(2)55(3)，
【分析】（1）根据题目所给的定义即可求解；（2）根据题目所给的定义及乘方的性质进行计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法及对数的性质即可解答．
（1）；，，故答案为：2，3，5，20
（2）原式
（3）
猜想： 设
则，
猜想成立 故答案为：，
【点睛】本题考查了乘方、同底数幂的乘法及新定义，准确理解题意是解题的关键．
13．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．①求的值；②求的值．
【答案】(1)4，64(2)(3)①；②
【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；
（2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；（3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可．
【详解】（1）解：，；
，且，．故答案为：，；
（2）解：，，，若，，，．
，，即，；
（3）解：①，，，，
，，；
②，，．由①知：，
，，，．
【点睛】本题考查数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键．
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作业03 幂的运算
1.同底数幂的乘法性质:(其中都是正整数).即同底数幂 ，底数 ，指数 .
（1）公式的推广：（都是正整数）.
（2）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个 的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和 原来的幂的指数。即（都是正整数）.
2.幂的乘方法则: (其中都是正整数).即幂的乘方， ， .
（1）公式的推广： (，均为正整数).
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形.
3.积的乘方法则: (其中是正整数).即积的 ，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂相乘.
（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是底数互为 时，计算更简便.
4.同底数幂的除法法则：
同底数幂相除， 不变，指数 ，即（≠0，都是正整数，并且）。
注意：幂运算中底数可以是任意的实数，也可以是 、 .
5.零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
底数不能为0， .任何一个 都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫 .
6.负整数指数幂：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
7.科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
一、选择题
1．（2023·江苏常州·统考一模）下列各式中，运算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）若，则等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏扬州·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏·七年级期末）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北张家口·统考一模）若，则p的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·天津河西·统考一模）计算：的结果等于_______．
8．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）__________．
9．（2023·安徽六安·校考一模）计算：________．
三、解答题
10．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）计算题：
(1)；(2)
11．（2022春·江苏镇江·七年级统考阶段练习）计算
(1)； (2) (3)
(4)；(5) (6)
12．（2022·江苏·七年级专题练习）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．
(1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）
(2)如果一列火车总共运送了块大理石，每块大理石约重千克，请问这列火车总共运送了约重多少千克的大理石？（结果用科学记数法表示）
一、选择题
1．（2023·广西防城港·统考一模）已知，，则的值是（ ）
A．35 B．24 C．12 D．2
2．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙
3．（2023春·江苏七年级课时练习）已知：，则M是（ ）位正整数．
A．10 B．9 C．8 D．5
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．
二、填空题
5．（2023·江苏·七年级专题练习）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是_____．
6．（2023春·江苏·七年级期末）若am=20，bn=20，ab=20，则=______．
三、解答题
7．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）阅读理解：
在学习同底数幂的除法公式（）时，有一个附加条件m>n，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究m = n和m < n时，同底数幂的除法．
当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得或=1，
即；同理可得，当时， 或=1．
由此启发，我们规定：（a ≠ 0）．
当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得或，即；同理可得，当a ≠ 0时，或， 即．
由此启发，我们规定： （a ≠ 0，p是正整数）．
根据以上知识，解决下列问题：
(1)填空：= ， ；(2)若，求m的值；(3)若，求x的值．
8．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；(2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除．
9．（2022春·江苏·七年级专题练习）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝　 　；（2）计算：T()+T(-2，16)．
（3）探索：T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
一、选择题
1．（2023·河北沧州·校考三模）已知，则代表的数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．（2022·河南·统考中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江杭州·七年级期中）如，，是比较，大小（ ）
A． B． C． D．、大小不能正确
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2023春·江苏·七年级期末）观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
二、填空题
6．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）若，则的值为______．
7．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
8．（2021·湖南永州·统考中考真题）若x，y均为实数，，，则______；_______．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知整数满足且，则的值为_____．
三、解答题
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下面的文字,回答后面的问题：
求的值.
解：令
将等式两边同时乘以5得到:
②-①得:
∴即
问题:(1)求的值；(2)求的值.
11．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：
定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，
例如：，那么称2是100的劳格数，记为．
填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；
直接写出______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且，，
根据劳格数的定义：，______，
∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴______，即，
请你把数学研究小组探究过程补全
拓展：根据上面的推理，你认为：______．
12．（2022秋·江苏八年级课时练习）阅读材料，解决下列问题：
【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记为．若（，，），则n叫做以10为底m的对数，记作：．如：，此时，4叫做以10为底10000的对数，记作：，（规定）．
(1)【解决问题】计算：______；______；______；______；
(2)【解决问题】计算：；
(3)【拓展应用】由（1）知：与之间的数量关系为：______；猜想：______（，）．
13．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．①求的值；②求的值．
()