2023年春九年级数学中考复习《二次函数与等腰直角三角形综合压轴题》
考前冲刺达标测试（附答案）
1．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F．
①当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标．
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；
2．如图，抛物线y＝－x2＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
（1）求点A，B的坐标；
（2）连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
（3）分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME．问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．
3．二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，直线与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式：
（2）在直线l上找点P（点P在第一象限），使得以点P，D，B为顶点的三角形与以点A，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）：
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
4．如图所示，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）当时 ，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
（2）点D是抛物线的顶点，连接、，当四边形是圆的内接四边形时，求a的值．
5．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积；
（3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含代数式表示）．
8．已知抛物线．
（1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A；
（2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当为直角三角形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点，点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点的坐标，并求出的面积；
（3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求N点坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．点在轴正半轴上，直线：与抛物线交于点．
(1)求线段的长度；
(2)如图，点Р是线段上的动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求的最大值；
(3)如图3，将抛物线向左平移4个单位长度，将沿直线平移，平移后的记为，在新抛物线的对称轴上找一点M，当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D、E是线段BC上的两点（E在D的右侧），DE＝，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD、FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线水平向左平移，使得平移后的抛物线恰好经过点F，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，连接BP，将线段沿直线BC平移，平移后的线段记为 ，是否存在以 为直角边的等腰Rt△G ？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．
（2）在y轴上是否存在点M，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，直线AC上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标．
（4）点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标．
参考答案
1．（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）①设直线BC的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线BC的解析式为：．
设点E为，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大为，此时．
②存在．
∵，，
∴是等腰三角形，
∴．
又∵轴，
∴，
∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
（i）当时，
∵轴，，
∴四边形CODF是矩形，
∴，
∴点F的纵坐标为3，把代入，
得，
解得，（舍去）
∴．
（ii）当时，如图：作于点G，
则，
∴，
解得，（舍去）
∴．
综上所述，符合条件的点F的坐标为，．
2．解：（1）抛物线y=－x2＋x－4，
令y=0，即－x2＋x－4=0，
解得：x=1或5，
∴点A（1，0），点B（5，0）
（2）如图1，过点P做PG⊥x轴于点N，过点C作CK⊥PG的延长线于点K，
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴AB=5-1=4，
∵抛物线y=－x2＋x－4于y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-4），
∴OC=4，
∴S△ABC=4×4×=8，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把点B、点C代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
设点P的坐标为（x，－x2＋x－4），则点G的坐标为（x，x－4），
∴PG=－x2＋x－4-（x－4）=-x2+4x，
∵S△PBC=S△PGC+S△PBG=PG CK+PG BN=PG（CK+BN）=PG（ON+BN）=PG OB．
∵S△ABC=S△PBC，
∴PG OB=8，
即（-x2+4x）×5=8，
解得：x=4或x=1，
∴当x=1时，点P的坐标为（1，0），
∵点P为抛物线在x轴上方一点，
∴P（1，0）不符合题意，
当x=4时，点P的坐标为（4，）．
（3）△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，
不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如图2所示：设PC与对称轴交于N，
由已知可得，MD=ME，∠DMA=∠EMN，AD⊥CP，
∴∠ADM=∠NEM=135°，
在△AMD和△NME中，
∴△AMD≌△NME（ASA）
∴AM=MN，
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），
∵抛物线y=－x2＋x－4的对称轴为直线x=3，
∴AM=3-1=2，
∴MN=2，
∴点N的坐标是（3，2），
设过点C（0，-4），点N（3，2）的直线的解析式为：y=kx+b，
解得，k=2，b=4，
即直线PC的解析式y=2x-4，
由
解得，
∵点P位于第一象限，
∴点P的坐标为（，3）；
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）．
3．解：（1）将，，代入，得：
，
解得，，，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设P（m，n），
∵，
∴当以P，D，B为顶点的三角形与以A、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若时，则，
∴，
∴，
∴，
②若时，则，
∴，
∴，
∴点P的坐标为：或（舍去），
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为或
（3）如图，过点作于点，
∵为等腰直角三角形，，，
又∵，
∴，
∴，，
①当为时，
，
，
∴，
代入，
解得：，（舍去）
∴，
②当为时，
，，
∴，
代入，
解得：，（舍去）
∴，
此时的点Q不在第一象限内，故舍去，
综上，可得
4．解：对于，令，
解得或，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，
当时，，顶点的坐标为．
（1）①当时，函数的表达式为，
则点、、的坐标分别为、、；
②过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交轴于点，
设点的坐标为，
，
，
，
，
，，
，
，
则，解得或4，
故点的坐标为，或；
（2）点、的坐标分别为、，顶点的坐标为．
当四边形是圆的内接四边形时，则的中点为该圆的圆心，
设的中点为点，由中点坐标公式得，点，，
则，
即，
解得．
5．(1)24
(2)
(3)存在，或．
（1）解：把代入，得
，
解得，
∴；
∴c点坐标为，
∴．
（2）解：如图2，作于点D．
∵，，
∴，
∴，
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图3-1，当点M在第一象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为F，过点C作直线的垂线，垂足为E．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
如图3-2，当点M在第二象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为H，过点C作直线的垂线，垂足为G．
同理可得：．
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
∴点的坐标为或．
6．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），
则，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：
AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∴AE=PE==t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ
=
=
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；
（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴点M的坐标为（3-2t，4-t），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t=或（舍），
∴M点的坐标为（，）．
7．解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到
抛物线的对称轴为，即，解得
∴抛物线的方程为
（2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵轴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
设，则，
∴
又∵
∴
解得或
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意
综上所述：．
（3）设，在抛物线上，则
将代入上式，得
当时，，∴时，最小，即最小
=
当时，，∴时，最小，即最小
，
综上所述
8．解：(1)令中，
即，对该式进行因式分解，
得到：，
∴，
∴不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A(2,0)；
(2)由抛物线的对称性且△ABC为直角三角形可得△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，
过顶点C作CP⊥AB于P，如下图所示：
，
故顶点C的坐标为，
∴，
且，
∵△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴，
∴，
当时，
整理得到，解得
当时，
整理得到，解得
又抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
当时，代入：，故舍去，
当 时，代入，
综上所述，或；
(3)∵点B在A的右侧,
∴，此时二次函数变为：，
假如存在符合题意的E和F点，过E作EM⊥y轴，如下图所示：
∵△DEF为等腰直角三角形，且DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠FDO+∠EDO=90°，
又∠FDO+∠DFO=90°，
∴∠EDO=∠DFO，
在△FDO和△EDM中，
，
∴△FDO≌△DEM(AAS)，
∴EM=DO=3，FO=DM，
即E点的横坐标的绝对值为3，
当E点在y轴右侧时，且在抛物线上，故E(3，-1)，
此时DM=3-(-1)=4，
∴FO=DM=4，此时F点坐标存在，为(-4,0)；
当E点在y轴左侧时，由于要保证∠EDF=90°，
∴此时F点必位于第一象限内，而不在x轴上，
故此时F点不存在，
当时，在的左侧，不合题意，舍去，
综上所述，F点存在，其坐标为(-4,0) ．
9．解：（1）把，代入抛物线中，
得，
解得，
所以该抛物线表达式为；
（2），
抛物线对称轴为直线，
点和点关于对称轴对称，点的坐标为，
，
又，
；
（3）以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点为直角顶点且在轴上方时，如图，
，，
在和中，
，
，
，，
；
②以点为直角顶点且在轴下方时，如图，
作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：和，
同理得，
，
，
，
；
③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图，
，，做辅助线，
同理得，
，
，
；
④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图，做辅助线，
同理得，
，
；
⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当为等腰直角三角形时点坐标为或或或．
10．（1）解：令，则
解得或
∴，
当时，；
∴
∴
（2）解：将点代入得：
解得：
∴直线：
当时，；
∴
∴
联立方程组
解得或
设
∵轴
∴
∴
∴当时，；
此时，
∴的最大值为：
（3）解：函数的对称轴为直线：
故其向左平移个单位长度后的抛物线的对称轴为直线：
设
由，，可得：
直线：；直线：；
由平移的性质可知：
设直线：
∵
∴
解得：
∴直线：
设点
由题意可知：，
∴
解得：，
∴，
11．（解：（1）如图1，∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
在直角三角形ACO中，
∵tan∠ACO＝，
∴，
∴OC=6，
∴点C(0，6)，
把A，C的坐标代入解析式，得
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y=；
（2）如图1，令y=0，得=0，
解得x= -2或x=8，
∴B（8，0）；
设直线BC的解析式为y=kx+6，
∴8k+6=0，
解得k=，
∴直线的解析式为y=x+6，
设点D的横坐标为m，则点D（m，m+6），点P（m，），
∴PD=-（m+6）
=，
过点E作EQ⊥DP，垂足为Q，则EQ∥AB，
∴∠DEQ=∠EBA，
∵OB=8，OC=6，
∴BC==10，
∴cos∠EBA==，
∴cos∠DEQ==，
∵DE=，
∴EQ=2，
∵DP∥EF，
∴底边PD上的高为2，
∴==，
∵＜0，
∴有最大值，
当m=时，面积最大，且最大为=6
当m=4时，
==9，
∴P(4，9)，
故点P(4，9)，的最大值为6；
（3）∵y=
=，
不妨设向左平移n个单位，函数图像经过点F，
则新函数的解析式为y=，
由（2）得F（6，0），
∴=0，
解得n=2或n= -8（舍去）
∴新函数的解析式为y=，
∴直线=1，
如图2，当等腰直角三角形的顶点在B处时，过点P作PR⊥AB，垂足为R，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵∠PBR+∠NBM=90°，∠NMB+∠NBM=90°，
∴∠PBR=∠NMB，
∵∠MNB=∠PRB=90°，BP=BM,
∴△NMB≌△RPB，
∴MN=BR=8-4=4，NB=RP=9，
∵OB=8，
∴ON=1，
∴点M（-1，-4），
由（2）知，当BP沿着BC方向平移n个单位时，其水平方向平移n个单位，竖直方向平移n个单位，
∴平移后点M到点G的位置，此时点G的坐标为（-1+n，-4-n），
∴-1+n=1，
∴n=，
∴-4-n= -4=，
故点G（1，）；
如图3，当等腰直角三角形的顶点在B处时，过点P作PS⊥BP，过点M作MS⊥MB，二线交于点S，设S（m，n），
∵MB=BP=PS=MS，∠PBM=90°，
∴四边形MBPS是正方形，
∴MS∥PB，PS∥BM，
∴，
∴，
解得
∴点S（，），
由（2）知，当BP沿着BC方向平移n个单位时，其水平方向平移n个单位，竖直方向平移n个单位，
∴平移后点M到点G的位置，此时点G的坐标为（+n，-n），
∴+n=1，
∴-n =，
故点G（1，）．
故这样的点G存在，且点G（1，）或点G（1，）．
．
12．（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：如图，设M点坐标为（0，y）
∵点A坐标为（－3，0），点D坐标为（－1，－4），
则：，
，
，
I、若是等腰直角三角形，当AD为斜边时，则：，
即：，解得，
此时：，，
故当M坐标（0，－1）时，是等腰直角三角形；
II、若是等腰直角三角形，当AM为斜边时，则：，
即：，解得，
此时：，
故不存在M坐使是以AM为斜边的等腰直角三角形；
III、若是等腰直角三角形，当DM为斜边时，则：，
即：，解得，
此时：，
故不存在M坐使是以DM为斜边的等腰直角三角形；
综上所述：点M坐标为（0，－1）．
（3）解：∵，
∴，
以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况，
I．当时，则，
如图：
∴，
∴轴，
∴y＝－3时，，
解得 ，，
∴P点为（－2，－3），
∴，
∴点Q坐标为（－2，－1），
II．当时，则，
如图：
∴轴，
由I可知，P点为（－2，－3），
∴，
过Q点作QH垂直PC，
∴，
∴点Q坐标为（－1，－2），
III．当时，则，
如图：
∴轴，，
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）
∴直线AC解析式为：，
∴直线QC解析式为：，
当时，，；
∴直线与抛物线交点为：（0，－3）、（－1，－4）
∴点P坐标为（－1，－4），
当时，，
∴点Q坐标为（－1，－2）；
综上所述：点Q坐标为（－2，－1）或（－1，－2）．
（4）解：I、点P在y轴右侧的抛物线上时，如图：
以等腰构造K字形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，过Q点作QG⊥PH，垂足为G，
易得：（AAS）
∴，，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴，
∴，
设，则P点坐标为（x，x）
∵P在抛物线上，即，解得：，（不合题意舍去），
此时点P坐标为
II、点P在y轴左侧的抛物线上时，如图：
以等腰构造K字形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，过Q点作QG⊥PH，垂足为G，
易得：（AAS）
∴，，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴，
∴，
设，其中，则P点坐标为（x，－x）
∵P在抛物线上，即，解得：（不合题意舍去），，
故此时P坐标为，
综上所述：点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，符合条件的点P的坐标或．