2023年贵州省铜仁重点中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数，，，中，正数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知，，则( )
A. B. C. D.
6. 设，是方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，点、在上，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为时，蚂蚁与点的距离为，则关于的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中．点，，，都在这些小正方形的格点上，，相交于点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在边长为的正方形中，是边的中点，在边上，且，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 在实数范围内分解因式：______．
12. 不等式组的解集为______．
13. 反比例函数的图象经过点和，则______．
14. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为______．
15. 如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则______．
16. 如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：丨丨
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，，是内部一条射线，若，于点，于点求证：．
19. 本小题分
如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点和．
求直线和反比例函数的解析式；
已知点，直线与反比例函数图象在第一象限的交点为，直接写出点的坐标，并求的面积．
20. 本小题分
为弘扬红色文化，了解革命事迹，年月日，铜仁五中七八年级学生参观了铜仁中南门历史文化古城，该古城南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量如图所示，在山坡上的点测得塔底的仰角，塔顶的仰角，斜坡米，求宝塔的高精确到米参考数据：，，，，，
21. 本小题分
如图，点是外一点，直线切于点，直线交于点、．
求证：；
若的半径为，且点刚好是的中点，求图中阴影部分的面积．
22. 本小题分
年北京冬奥会于月日至在北京举行，某校为了解学生对此次运动会的关注程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生对冬奥会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：
请结合图中的信息，解答下列问题：
此次调查共抽取了______名学生；扇形统计图中，“较强”所对应扇形圆心角的度数为______．
请补全条形统计图；
若该校有名学生，请你估计该校对冬奥会关注程度为“淡薄”层次的学生约有多少人？
如果从“淡薄”和“一般”共名学生中随机抽取两名调查关注程度不强的原因，求恰好抽到“两名学生来自不同层次”的概率．
23. 本小题分
黔东南州某企业用、两种原料开发了一种新型的产品，原料每千克的进货单价比原料每千克的进货单价少元，已知用元购买原料比用元购买原料少生产这种新型产品每盒需要原料和原料，每盒产品还需要其他成本元，市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每涨价元，每天少销售盒．
求每盒产品的成本；成本原料费其他成本
设每盒产品的销售单价为元，且取整数，每天的利润是元，请写出关于的函数解析式；
若物价部门规定每盒产品的销售单价不超过元，则每天的最大销售利润是多少？
24. 本小题分
如图，两块直角三角纸板和按图所示的方式摆放，其中，，点，分别是，的中点，将绕着点顺时针旋转，记旋转角为．
当，的长为______．
当旋转到图的位置时，的长为______．
如图，连接，在绕着点顺时针旋转的过程中，是否存在最大值和最小值，若存在，请求出最大值和最小值．若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在实数，，，中，正数有，一共个．
故选：．
根据正数的概念解答可得．
本题主要考查有理数，解题的关键是熟练掌握有理数的概念及其分类．
2.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则解答即可．
此题考查了完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法．解题的关键是掌握完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则．
3.【答案】
【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：过点作，如图：
，，
，
，
，
，
即．
而，
．
故选：．
过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有而，即可得到．
本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】
解：，，
．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故选：．
根、是方程的两个实数根，求出，，得出，把变形后进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
7.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
；
故选：．
连接，由圆周角定理得出，，再由直角三角形的性质即可得出答案．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行，在开始时经过半径这一段，蚂蚁到点的距离随运动时间的增大而增大；
到弧这一段，蚂蚁到点的距离不变，图象是与轴平行的线段；走另一条半径时，随的增大而减小；
故选：．
根据蚂蚁在上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与轴平行的线段，即可得出结论．
本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧这一段，蚂蚁到点的距离不变，得到图象的特点是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：
过作于，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
解得：，
，
∽，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出各个边的长度，求出和，解直角三角形求出即可．
本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、解直角三角形等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】证明：四边形是正方形，
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
≌，
，
即：，
为的中点，边长为的正方形，
，，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
即，
故选：．
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，首先证明≌，进而得到，问题即可解决．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了实数范围内分解因式，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点和都在反比例函数的图象上，
，解得．
故答案为：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
14.【答案】
【解析】解：第一次打开锁的概率为．
让对的除以总钥匙数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
15.【答案】
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，作作的对称点，连接交于，交于，连接，，
，，
四边形周长，
当、、、四点共线时，四边形周长有最小值，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，作作的对称点，连接交于，交于，连接，，当、、、四点共线时，四边形周长有最小值，最小值为的长．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：丨丨
；
，
当时，原式．
【解析】先化简，然后计算加减法即可；
先计算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明≌．
根据证明≌，再根据全等三角形的对应边相等即可得解．
19.【答案】解：设反比例函数解析式为，直线解析式为，
反比例函数的图象过点，
，
把点，代入得，
解得，
直线为，反比例函数的解析式为；
解得或，
，
设直线为，
把，代入得，
解得，
直线为，
由得或，
，
．
【解析】根据待定系数法求得即可；
解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
20.【答案】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
宝塔的高约为米．
【解析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
解：，是的中点，
，
则，
，
，
．
【解析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等角的余角相等证明结论；
根据余弦的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：人，“较强”的人数为人，，
此次调查共抽取了名学生；扇形统计图中，“较强”所对应扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
补图如下：
人，
答：该校对冬奥会关注程度为“淡薄”层次的学生约有人；
设“淡薄”层次的名学生为甲，“一般”层次的名学生为乙，
树形图如下：
共有种情况，“两名学生来自不同层次”的有种，
“两名学生来自不同层次”的概率为．
根据一般的人数及所占的比例即可得出总人数，进而可得出扇形统计图中较强所在的扇形的圆心角；
求出较强层次的人数可补全图形．
用乘以“淡薄”层次所占的比例即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，也考查了树状图法求概率．
23.【答案】解：设原料每千克的进货单价是元，则原料每千克的进货单价为元，每盒产品的成本为元，
根据题意得：，
解得或，
经检验，或是原方程的解，但不符合题意，舍去，
，
此时元，
答：每盒产品的成本为元；
根据题意得：，
关于的函数解析式为；
，
，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
时，取最大值，最大值为元，
答：每天的最大销售利润是元．
【解析】设原料每千克的进货单价是元，则原料每千克的进货单价为元，每盒产品的成本为元，根据题意得：，解方程并检验可得，即可得到答案；
根据题意得：；
由，且，根据二次函数性质可得答案．
本题考查分式方程及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量列方程和列出函数关系式．
24.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
故答案为：；
点，分别是，的中点，
是是中位线，
，
故答案为：；
连接，
点为的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
由知，，
，
，
的最小值为，最大值为．
利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而得出；
根据是是中位线，得；
连接，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的三边关系可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了含角的直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理等知识，勾股定理等知识，明确利用三角形的三边关系是求单线段最值的常用方法．
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