第七章 平行线的证明 学情评估
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列语句中，属于命题的是(　　)
A．等角的余角相等
B．两点之间，线段最短吗
C．连接P、Q两点
D．花儿会不会在春天开放
2．命题“负数没有平方根”的条件是(　　)
A．如果一个数是正数 B．如果一个数没有平方根
C．如果一个数是负数 D．如果一个数是非负数
3.在△ABC中，若∠A＝90°，∠B∶∠C＝2∶1，则∠B＝(　　)
A．120° B．45° C．60° D．90°
4．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先假设(　　)
A．一个三角形中不能有两个角为锐角
B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角
D．一个三角形中能有两个角为锐角
5．下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到AB∥CD的是(　　)
6．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是(　　)
A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°
(第6题)　　　 　 (第7题)　　　　 (第8题)
7．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，则(　　)
A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE为(　　)
A．80° B．60° C．50° D．40°
9．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1＋∠2＋∠3等于(　　)
A．90° B．180°
C．210° D．270°
(第9题)　　　　　　　　 (第10题)
10．小明将一副三角板按如图方式叠放，则∠α的度数为(　　)
A．65° B．75° C．105° D．115°
二、填空题(每题3分，共15分)
11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______________________________________．
12．命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是___________________________________．
13．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD交AB于G，则∠FGB的度数为________．
14．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1＋∠2等于________．
15．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，若∠DEF＝α，请直接用含α的式子表示∠C′FG为______________．
三、解答题(第16题10分，第18题7分，第22、23题每题13分，其他每题8分，共75分)
16．在证明“三角形内角和等于180°”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC.
求证：____________________．
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，
过点D作DF∥AC交AB于点F.
因为DE∥AB，
所以∠A＝∠1，∠B＝∠2(依据：_____________________________)．
因为DF∥AC，所以∠1＝∠3.
17．如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E.若∠B＝57°，∠C＝65°，求∠ADE的度数．
18．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F.
19．如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
20．如图，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2＝145°，求∠AFG的度数．
21．如图，点E在△ABC的边BC上，AD∥BC，∠DAE＝∠BAC，∠1＝∠2.
(1)求证：AB∥DE；
(2)若AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠2的度数．
22．阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图①是台球桌面实物图，图②是抽象出的数学图形，已知长方形桌面ABCD中，AD∥BC，一个球在桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD上的点F后反弹，再碰到BC边上的点G后，再次反弹进入底袋点D.在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3＝∠4.
任务一：如图②，求证：EF∥GD；
任务二：如图③，若球在桌面的点E处，经过两次反弹后碰到AD边上的点H处，易知∠CFG＋∠CGF＝90°，请你判断EF与GH的位置关系，并说明理由．
23．已知点A、B分别在射线OM、ON上运动(均不与点O重合)．
(1)如图①，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝________；
(2)如图②，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝________；
(3)如图②，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，试探究∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
(4)如图③，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，∠OAB的平分线与直线BC交于点E.试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
答案
一、1.A　2.C　3.C　4.C　5.B
6．D　点拨：如图，因为三角尺的直角被直线m平分，
所以∠6＝∠7＝45°，
所以∠4＝∠1＋∠6＝60°＋45°＝105°.
因为m∥n，所以∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°－∠4＝75°，
所以∠5＝180°－∠3＝180°－45°＝135°，
故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意．
7．B　8.D　9.B　10.C
二、11.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
12．轴对称图形是等腰三角形　13.151°　14.230°　
15．180°－2α
三、16.解：∠A＋∠B＋∠C＝180°；两直线平行，同位角相等
所以∠3＝∠A.
因为DF∥AC，
所以∠4＝∠C.
因为∠3＋∠2＋∠4＝180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
17.解：因为∠B＝57°，∠C＝65°，
所以∠BAC＝180°－57°－65°＝58°.
因为AD为△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝∠DAC＝29°.
因为DE∥AB，
所以∠ADE＝∠BAD＝29°.
18．证明：因为∠A＝∠1，所以AE∥BF，所以∠2＝∠E.
因为CE∥DF，所以∠2＝∠F，所以∠E＝∠F.
19．解：因为∠B＝40°，∠C＝70°，所以∠BAC＝70°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD＝35°，
所以∠ADE＝∠B＋∠BAD＝75°.
因为AE⊥BC，
所以∠AEB＝90°，
所以∠DAE＝180°－90°－75°＝15°.
20．解：(1)BF∥DE.理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，∴∠1＝∠3.
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠3＋∠2＝180°，
∴BF∥DE.
(2)∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝145°，
∴∠1＝35°，
∴∠AFG＝90°－35°＝55°.
21. (1)证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠1.
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠1，∴AB∥DE.
(2)解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC.
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝∠DAC.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠EAC＝35°，∴∠2＝∠EAC＋∠C＝70°.
22．任务一：证明：因为AD∥BC，
所以∠2＝∠3.
又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
因为∠EFG＝180°－(∠1＋∠2)，∠FGD＝180°－(∠3＋∠4)，
所以∠EFG＝∠FGD，
所以EF∥DG.
任务二：解：EF∥GH.理由：由题意可知∠EFB＝∠GFC，∠FGC＝∠HGD，
因为∠CFG＋∠CGF＝90°，
所以∠EFB＋∠GFC＋∠FGC＋∠HGD＝180°.
因为∠HGF＝180°－(∠DGH＋∠CGF)，∠EFG＝180°－(∠EFB＋∠GFC)，
所以∠HGF＋∠EFG＝180°－(∠DGH＋∠CGF)＋180°－(∠EFB＋∠GFC)＝360°－(∠DGH＋∠CGF＋∠EFB＋∠GFC)＝180°，
所以EF∥GH.
23．解：(1)135°　(2)90°＋n°
(3)∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，
∴∠ABC＋∠ABD＝∠OBA＋∠NBA＝(∠OBA＋∠NBA)＝90°，即∠CBD＝90°，同理∠CAD＝90°.
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB＋∠ADB＝360°－90°－90°＝180°.
由(2)知∠ACB＝90°＋n°，
∴∠ADB＝180°－(90°＋n°)＝90°－n°.
(4)不会．
∵∠NBA＝∠AOB＋∠OAB，
∴∠OAB＝∠NBA－∠AOB.
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，
∵∠CBA＝∠E＋∠BAE，
∴∠NBA＝∠E＋∠OAB
＝∠E＋(∠NBA－80°)
＝∠E＋∠NBA－40°，
∴∠E＝40°.