中考数学几何模型
第二十一节：二次函数平行四边形存在性问题
416.二次函数平行四边形存在性2倍角存在性问题(初三)
如图,抛物线交轴于两点,交轴于点,直线经过点B,C
(1)求抛物线的解析式:
(2)过点的直线交直线于点
①当时,过抛物线上一动点(不与点重合),作直线的平行线交直线于点,若以点为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标;
②连接,当直线与直线的夹角等于的2倍时,请直接写出点的坐标.
417.二次函数圆与直线相切平行四边形存在性问题(初三)
如图,已知抛物线经过点
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若以点为圆心的圆与直线相切于点,求切点的坐标
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由
418.二次函数面积比最大值平行四边形存在性问题(初三)
如图1,抛物线与轴交于,与轴交于点.已知直线过两点.
(1)求抛物线和直线的表达式;
(2)点是抛物线上的一个动点.
①如图1,若点在第一象限内,连接,交直线于点.设的面积为的面积为,求的最大值;
②如图2,抛物线的对称轴1与轴交于点,过点作,垂足为.点是对称轴1上的一个动点,是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
419.二次函数线分面积比值平行四边形存在性问题(初三)
如图,抛物线的图象经过,6)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线的顶点与对称轴1上的点关于轴对称，直线AN交抛物线于点,直线交于点,若直线将的面积分为两部分,求点的坐标.
(3)为抛物线上的一动点，为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点，使为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
420.二次函数线段最大值平行四边形存在性问题(初三)
在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点.与轴交于点.且点的坐标为,点的坐标为.
(1)求该拋物线的解析式;
(2)如图1.若点是第一象限内拋物线上的一动点.当点到直线的距离最大时,求点的坐标;
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
421.二次函数面积最大值平行四边形存在性问题(初三)
将抛物线向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线.抛物线与轴交于点，与轴交于点C.已知,点是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式:
(2)如图1,点在线段上方的抛物线上运动(不与重合)，过点作,垂足为交于点.作,垂足为,求的面积的最大值;
(3)如图2,点是抛物线的对称轴1上的一个动点，在抛物线上，是否存在点,使得以点为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
416【解】(1)当时,,则,当时,,解得,则,
把代入得:,解得:,
抛物线解析式为;
(2)①令,解方程得,则,
为等腰直角三角形,,
为等腰直角三角形,
,
以点为顶点的四边形是平行四边形,,
作轴交直线于,则,
,
设,则,
①.当点在直线上方时,符合题意
,
解得(舍去),,
②.当点在直线下方时,和符合题意,
,
解得,
综上所述,点的横坐标为4或或;
②.如图2,作于轴于,作的垂直平分线交于,交于,
,
为等腰直角三角形,
,
易得的解析式为点坐标为,
设直线的解析式为,
把代入得,解得,
直线的解析式为,解方程组:
,得:,则;
在直线上作点关于点的对称点,
则,设,
;由中点坐标公式得,,
综上所述,点的坐标为或.
417【解】(1)把,-3)代入拋物线解析式得:,解得:
则该拋物线解析式为;
(2)设直线解析式为,
把代入得:,即,
直线解析式为以点为圆心的圆与直线相切于点
设直线解析式为,
把代入得:,即,
直线解析式为,联立得:,
解得:,则;如图1:
(3)以点为顶点的四边形是平行四边形时,只有为边一种情况,易知到轴的距离和的值相等,等于3,则分两种情况讨论,如下图2:
①当在轴的下方,则点的纵坐标为-3,则,解得:(舍去),,此时
②.当在轴的上方,则点的纵坐标为3,则,解得:,此时或
综上所述,存在以点为顶点的四边形是平行四边形,且的坐标为:或或
418【解】(1)把代入得:,解得:
抛物线的表达式为点坐标为,把代入得:,解得:直线的表达式为.
(2)①交直线于点设点的坐标为,,设直线的表达式为,
,解得:
直线的表达式,,
联立得:,
整理得,
解得或(不合题意,舍去),
点的横坐标为,点的横坐标为,分别过点作轴的垂线,垂足分别为,如图1:
,
,设,则
整理得,,
,
解得有最大值,最大值为.
②存在,理由如下:如图2,过点作于,的对称轴为
,
,
又是等腰直角三角形,
,
是等腰直角三角形,,
点的坐标为,
第一种情况:当为边时,四边形为平行四边形,轴,
点的横坐标与点的横坐标同为2,
当时,,
点的坐标为,
,点的坐标为,
根据对称性当时,时,四边形也是平行四边形.
第二种情况:当为对角线时,如图2中的,
四边形为平行四边形,
轴,同理求得:点的坐标为,
,点的坐标为;
综上,点的坐标为时,点的坐标为或时,.
419【解】(1)抛物线的图象经过,
设拋物线解析式为:,
抛物线的图象经过点,
抛物线解析式为:;
(2),
顶点的坐标为,
拋物线的顶点与对称轴上的点关于轴对称,
点,设直线解析式为:,
由题意可得:,解得:,
直线解析式为:,
联立方程组得:,解得:,
点,
设点,
直线将的面积分为1:2两部分,
或,
或,
或点或;
(3)存在,分两种情况讨论:
①.若为平行四边形的边,
以为顶点的四边形为平行四边形,
或,
或,
点坐标为或;
②.若为平行四边形的对角线,
以为顶点的四边形为平行四边形,
与互相平分,,
点坐标为,
综上所述:当点坐标为或或,0)时,使为顶点的四边形为平行四边形.
420【解】(1)将的坐标,点的坐标
代入得:,解得,
抛物线的解析式为;
(2)过作轴于,交于,过作于,如图1:
在中,令得,
解得或,
是等腰直角三角形,,轴,,
是等腰直角三角形,,
当最大时,最大,
设直线解析式为,将代入得:
直线解析式为,
设,则,
,
当时,最大为
时,最大,即点到直线的距离最大,此时;
(3)存在,理由如下:
拋物线对称轴为直线,
设,
而,
①以为对角线,则的中点重合,如图2,由平行四边形的性质可知,是的中点,也是MN的中点:,解得:,,(解法二,可以用三角形全等来做,可得的横坐标为3)
②以为对角线,如图3(此种情况,我们也可以用①中的方法一,但是为了同学们的方法学习,就用方法二来解):过点作对称轴与点,
易证,
对称轴是点的横坐标为-3,代入二次函数解析式,可得,
③以为对角线,如图4:同理可得,,
点的横坐标是;
综上所述,的坐标为:或或.
421【解】(1)由题意得拋物线的顶点坐标为,抛物线,
将代入,得:,解得:
抛物线的表达式为;
(2)由(1)知:,
令,得,
设直线的解析式为,
,解得:,
直线的解析式为,设,
则,
,
当时,有最大值,
,
是等腰直角二角形,,
,
,
是等腰直角三角形,
,
当时,最大值;
(3)①如图1,当为平行四边形的边时,则有,且,过点作对称轴的垂线,垂足为,设交对称轴于点,则,
在和中,易证,
点到对称轴的距离为3,
又,
抛物线对称轴为直线,则点有两种情况符合题意,它们的横坐标分别为2或者-4
当时,,当时,,
点坐标为或;
②当为平行四边形的对角线时,如图2,
设的中点为,点在对称轴上,点的横坐标为-1,设点的横坐标为,根据中点公式得:,此时;综上所述,点的坐标为或或2,3).
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