2023年湖南省长沙市中考数学学业水平试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最近的是( )
A. B. C. D.
2. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
3. 中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达万册，其中古籍善本约有册．用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
4. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，平分，交边于点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 在娱乐节目“墙来了”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，为边上一点，交于点若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为，，从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是( )
A. B. C. D.
10. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图所示，此钢拱近似看成二次函数的图象抛物线在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点，拱高为米即最高点到的距离为米，跨径为米即米，以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式： ．
12. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
13. 已知一次函数经过、两点，则它的图象不经过第 象限．
14. 如图，内接于，若的半径为，，则的长为______．
15. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向横向、竖向或者是斜着的方向上连成五子者为胜如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图观察棋盘，以点为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点若黑子的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______ 的位置处．
16. 将矩形纸片按如图所示的方法折叠，并连接，则下列结论中正确的有______ 填序号．
和一定相似；和不可能全等；和不可能全等；和有可能相似．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
19. 本小题分
如图，已知直线及直线外一点，按照如下步骤进行尺规作图：
在直线上取一点，连接；
分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，分别交于，两点，作直线，交于点，交直线于点；
以点为圆心、长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．
根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
下列结论不一定成立的是______ 填序号；
若，，求的长．
20. 本小题分
为了更好地了解学生中考体育成绩情况，有关部门在，两所学校各抽取名初三学生的体育测试成绩进行分析满分：分，个人成绩四舍五入取整数．
校抽样学生体育测试成绩的平均分、中位数、众数如下：
平均分 中位数 众数
校抽样学生体育测试成绩的分布如下：
成绩 满分
人数
请根据以上信息回答下列问题：
______ ；
在两校抽样的学生中，体育测试成绩为分的学生，在______ 填“”或“”校被抽样学生中排名更靠前从高分到低分排名，理由是______ ；
如果校有名学生参加此次体育测试，估计成绩不低于分的人数．
21. 本小题分
如图，在矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作菱形，连接．
证明：四边形是平行四边形；
若，，求四边形的面积．
22. 本小题分
平板电脑是很多学生进行学习和娱乐的重要工具之一，随着技术的发展，平板电脑市场的竞争也越来越激烈某平板电脑经销商经销进价为每台元的型平板电脑，去年销售总额为万元，今年每台售价比去年降低元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
求型平板电脑今年每台的售价；
今年该经销商引进了一款进价为每台元的型平板电脑，按每台元的价格出售计划今年购进型平板电脑和型平板电脑共台，且型平板电脑的进货数量不超过型平板电脑数量的两倍，请问应如何安排两种型号平板电脑的进货数量，才能使这批平板电脑售出后获利最多？
23. 本小题分
如图，在中，，平分交于点，以为半径作，直线交于点，，连接．
求证：是的切线；
若，的直径为，求的长．
24. 本小题分
如图，在中，，以为直径作，平分交于，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．
求证：≌；
如果，求的值；
写出与的数量关系，并说明理由．
25. 本小题分
若四边形的一条对角线将这个四边形分成两个相似的三角形不全等，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的“九章线”．
如图，在四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的“九章线”；
如图，直线分别与，轴相交于，两点，为反比例函数上的点，且是四边形的“九章线”，求的值；
如图，是四边形的“九章线”且平分，点的坐标为，轴，，连接，的面积为过，两点的抛物线与轴交于，两点，记线段的长为若直线与抛物线恰好有个交点，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了数轴，掌握到原点距离最近的点就是绝对值最小的点，到原点距离最远的点就是绝对值最大的点是解题的关键．
根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案．
【解答】
解：到原点的距离是个长度单位，
到原点的距离是个长度单位，
到原点的距离是个长度单位，
到原点的距离是个长度单位，
到原点的距离最近的是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，
B、不是轴对称图形，
C、不是轴对称图形，
D、是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
3.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5.【答案】
【解析】解：，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法、除法运算法则等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义和平行四边形的性质，可以得到，再根据，即可得到的长．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查简单几何体的三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键．
看哪个几何体的三视图中有圆，三角形即可．
【解答】
解：、三视图都为正方形，故A选项不符合题意；
B、三视图分别为长方形，长方形，圆，故B选项不符合题意；
C、三视图分别为三角形，三角形，圆，故C选项符合题意；
D、三视图都为圆，故D选项不符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例可得，进一步求解即可．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有种结果，
出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】
解：设抛物线的解析式为：，，
将代入得：，
解得：，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：
提取公因式
完全平方公式
故答案为
先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，
注意要分解彻底．
12.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
则方程的另一个根是：，
故答案为．
根据根与系数的关系得出，即可得出另一根的值．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
13.【答案】三
【解析】解：由于函数过、两点，如图：
可见，函数不经过第三象限．
故答案为：三．
根据题意画出图形即可直观发现函数图象所过象限．
本题考查了一次函数的图象和性质，画出图象并观察图象得出结论是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，
则．
故答案为：．
连接，，根据，可得，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是求出圆心角的度数，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．
15.【答案】或
【解析】解：根据题意得，白子的坐标为；
因为白方已把三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即或，
故答案为：或．
根据五子连棋的规则，白方已把三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标．
本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，，
四边形是矩形，
，
，
，
∽，故符合题意；
当时，和全等，故不符合题意；
，，
和不可能全等，故符合题意；
当或，
和相似，故符合题意；
故答案为：．
根据相似三角形的判定和全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定．全等三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的所有非负整数解为：，．
【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
19.【答案】
【解析】解：由作法得垂直平分，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的位置不确定，
不一定成立；
故答案为：；
，
，
垂直平分，
、是等腰直角三角形，
，，
垂直平分，
，
，，
．
由作图可得垂直平分，，根据可得≌，根据全等三角形的性质可得，，可得，无法得出，即可得出结论；
根据垂直平分得，根据平行线的性质得，则、是等腰直角三角形，可得，即可求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
20.【答案】 区样本中位数是，得分为分的学生在区被抽样学生中排名更靠前
【解析】解：，
故答案为：；
，理由：人，
区样本中大于等于分的学生有人，而区样本中位数是，得分为分的学生在区被抽样学生中排名更靠前．
故答案为：，区样本中位数是，得分为分的学生在区被抽样学生中排名更靠前；
人，
答：估计成绩不低于分的人数为人．
根据区抽样学生的总数各组的频数即可得到结论；
通过计算得到区样本中大于等于分的学生有人，而区样本中位数是，于是得到结论；
用成绩不低于分的人数所占被抽样学生人数的百分比即可得到结论．
本题考查了众数，频数分布直方图，中位数，解题的关键是正确地读图并找到进一步解题的有关信息．
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，即．
又四边形是矩形，
，
．
四边形是平行四边形．
解四边形是矩形，
．
四边形是平行四边形，
，，．
，．
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是菱形．
，
．
又，
．
，
面积为，
四边形面积．
【解析】先证明，再证明即可；
根据，求出面积，利用四边形的面积等于面积的倍即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，矩形的性质．解题时，注意这三种图形间的区别与联系．
22.【答案】解：设去年销售型平板电脑台，则每台的售价为元，
则今年的每台售价为元．
依题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
，
答：型平板电脑今年每台的售价为元．
设今年购进型平板电脑台，则购进型平板电脑台，总利润为元．
依题意得：，
整理得：，
型平板电脑的进货数量不超过型平板电脑数量的两倍，
，又，
解得：，
对于一次函数，随的增大而减小，
当时，为最大，此时，，
答：型平板电脑进货台，型平板电脑进货台，才能使这批平板电脑售出后获利最多．
【解析】首先设去年销售型平板电脑台，每台的售价为元，则今年的每台售价为元．
然后根据去年销售总额为万元，今年的销售总额将比去年减少列出方程组，进而解方程组可得出答案；
今年购进型平板电脑台，则购进型平板电脑台，总利润为元，依题意可列出与的函数关系式，然后再根据“型平板电脑的进货数量不超过型平板电脑数量的两倍”求出的取值范围，最后再根据函数的性质可得出答案．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解答的关键是找准等量关系列出方程；解答的关键是正确地列出一次函数的关系式，难点是根据“型平板电脑的进货数量不超过型平板电脑数量的两倍”求出自变量的取值范围．
23.【答案】证明：过点作于点，如图，
，
，
平分，，，
，
为的半径，
到圆心的距离等于半径，
是的切线；
解：连接，
为的直径，
．
，
，
．
，
，
．
，
∽．
．
，
，
设，则．
，
，
的直径为，
，
．
，，
，
设，则，
，
，
，
．
【解析】过点作于点，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，得到，再利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线解答，即可得出结论；
连接，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到，设，则，则，可求，利用圆的直径为求出值，进而得到，，利用相似三角形的性质得到，
设，则，利用勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，角平分线的性质，圆的有关性质，圆的切线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作于点是解决此类问题常添加的辅助线．
24.【答案】证明；是的直径，
，
又平分，
，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
又，
，
≌；
解：设，
由≌，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
过点作于点，
的面积，
，
连接，则，
是等腰直角三角形，
，
，
∽，
；
，理由如下：
设交于点，在上截取，连接，，，
由知：，，
≌，
，，
，
，
四边形内接于，
，
又，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
≌，
．
【解析】由平分，可证，通过证明≌即可；
设，在中，，在中，，过点作于点，根据三角形的面积可求出的长，再借助∽即可；
设交于点，在上截取，连接，，，首先通过证明≌，可证，通过圆内接四边形的性质可得，从而，，再通过证明≌即可．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：如图，设，则，
，对角线平分，
，
，
在和中，
，，
∽，
是四边形的九章线；
当为直角时，
当时，
过点作轴于点，
直线分别与，轴相交于，两点，
令，即，解得：，
，所以，
设，则，，则，
解得：，故点，故；
当时，
同理可得：；
如图，过点作于点，则，
故CH，则，
的面积，故CD，
而∽，故CA，故CA，
点，
点，
将点、的坐标代入抛物线表达式并解得：
，．
抛物线的表达式为：，
，则，
故直线的表达式为：，
直线与抛物线有两个交点，而直线与抛物线恰好有个交点，
则直线与抛物线有一个交点，
联立直线与抛物线的表达式并整理得：；
化简整理得：
，
解得：或．
【解析】如图，设，则，则，即可求解；
分为直角、为直角两种情况，分别求解即可；
，则，的面积，故CD，而∽，故CA，故CA，则点，则抛物线的表达式为：，，则，故直线的表达式为：，直线与抛物线有两个交点，而直线与抛物线恰好有个交点，则直线与抛物线有一个交点，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、图形的面积计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
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