临朐县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学
一、单选题
1．sin480°等于
A． B． C． D．
2．已知点，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，若，则
A． B． C． D．
6. 函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
8．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
10．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下（左）图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下（右）表所示：
如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷
11.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的单调减区间为
D．图象可以由图象向右平移个单位得到
12．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的取值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
三、填空题
13．已知向量，若，则___________.
14．已知、是关于的方程的两根，则的值是________.
15．如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则______.
16．已知，则的最大值为________.
四、解答题
17．已知，，且与夹角为求：
(1)；
(2)与的夹角．
18．已知角是第三象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：
时刻
水深值
经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？
20．如图所示，△中，，，.线段相交于点.
(1)用向量与表示及；
(2)若，试求实数的值.
21．已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数，.
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.
参考答案
1—4．DBAB 5—8．DCAC
3．与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得.故选:A
4.因为，是单位向量，所以，
又因为，，
所以，
，
所以，因为，
所以．
7．因为是奇函数，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，
所以可把函数的图象向右平移个单位长度.故选：A.
8．C ，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，
，令，解得：；或要满足②，，
令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
9．BD 10．BC 11.ABD 12．AB
10. 由题图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为．
从同学甲出生到今日的天数为5860，
故对于体力，有5860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有5860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有5860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．BC选项正确.
12．AB
，
因为三点共线，所以，即，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以.
14. 15. 1 16．
16.∵，，
所以
∴当时，上式取最大值，故答案为：.
17．（1），，且与夹角为，
，，
，
；
（2），
，
，
设与的夹角为，
，
又，
所以，即与的夹角为．
18．（1）tanα，sin2α+cos2α＝1，
∴或，而角是第三象限角，则，
故；
（2）
.
∵，
∴原式.
19.(1)
，，，；
由表格数据知：最小正周期，即，；
，，
解得：，又，，.
(2)由题意知：若该船能进入港口，则需，
即，；
，，
则当或或，即或或时，，
该船可在、和进入港口.
20．(1)由题设，，.
（2）设，
所以，且，
所以，则，可得，
所以，故，.
21．（1）由图可知：，所以，所以，
，由图易得,则，
又，则，则，，
所以，，
所以.
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由题.
当时，.
因为对任意的恒成立，
则，即
所以.
22．（1）因为，，
所以的最小正周期为，
因为，的最小正周期为，
所以，得，
所以，
由，得，
所以的对称中心为；
（2）由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得
，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以，或，
解得或，
因为，所以，
所以，
所以的最小正周期为，
令，则，
解得，或，
所以，或，
因为函数在（且）上恰好有10个零点，
且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距，
所以的最小值为.
练习
1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.若函数在开区间内既没有最大值1，也没有最小值，则下列的取值中，可能的有（ ）
A． B． C． D．
3．已知，函数，且.
(1)求，的值；
(2)设，且，求的单调递增区间.
答案
∵，∴，
函数在上单调递减，
周期解得，故，
的减区间满足：，
取，且解之得.所以的取值范围是：.故选：D.
2. AB 当,且时，，
函数在区间内既没有取到最大值1,也没有取到最小值,
,其中,
，其中，解得，
则，解得，,且,
时，，时，，时，，
综上所述，实数的取值范围是或或.
3.（1）因为，，
所以，则.
因为，所以，解得，；
（2），，
即.
因为，所以，所以，
所以，.
令，.
解得，
所以的单调增区间为.