苏科版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一 二章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程( )
A. B.
C. D.
2.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.如图，在宽为米，长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为，根据题意，可列方程为
( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点给出下列四种说法：
；
；
四边形有外接圆；
是外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
5.如图，四边形内接于，，，的大小为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，放置在直线上的扇形由图滚动无滑动到图，再由图滚动到图若半径，，则点所经过的最短路径的长是( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点，，垂足为，连接，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于的方程的正数解为
( )
A. B. C. D.
9.某农机厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
10.已知是一元二次方程的一个根，则代数式
的值为( )
A. B. C. D.
11.如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点下列结论错误的是
( )
A. B. C. D. 平分
12.如图，小华用直尺和圆规过点作出直线的垂线，他的作图依据是
( )
A. 直径所对的圆周角是直角 B. 的圆周角所对的弦是直径
C. 圆的切线垂直于过切点的半径 D. 同弧或等弧所对的圆周角相等
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线，与的延长线交于点若的半径为，则的长为 ．
14.如图，在中，点在上，则
15.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从千克增加到千克设平均每年增产的百分率为，则可列方程为______ ．
16.若是方程的解，则代数式的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？
18.本小题分
在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
已知该工艺品的成本是元件，如果以单价为元件销售，那么每天可售出件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是元，根据销售经验，如果将销售单价降低元，每天可多售出件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为元．
19.本小题分
因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在年春节长假期间，共接待游客达万人次，预计在年春节长假期间，将接待游客达万人次．
求东部华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率．
东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯，年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额？
20.本小题分
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元．
求该企业从年到年利润的年平均增长率；
若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？
21.本小题分
如图，是的直径，切于点，切于点，且．
求的度数；
若，求点到弦的距离．
22.本小题分
如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且．
判断直线和的位置关系，并说明理由．
过点作的切线交直线于点，若，的半径是，求的长．
23.本小题分
如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
求证：为的中点．
若的半径为，的度数为，求线段的长．
24.本小题分
如图，为的直径，点、在上，与交于点，，连接、求证：
≌；
四边形是菱形．
25.本小题分
手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成这三部分都是矩形形状，分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为若隔水的宽度为，画心的面积为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为人．
故选：．
设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】 如图，将道路竖直的部分平移到最左边，
水平的部分平移到最下边，则可列方程为．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，是的两条切线，，为切点，
，所以正确；
，，
垂直平分，所以正确；
，是的两条切线，，为切点，
，，
，
点、在以为直径的圆上，
四边形有外接圆，所以正确；
只有当时，，此时，
不一定为外接圆的圆心，所以错误．
故选：．
利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当时，，此时，则可对进行判断．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．首先证明，再利用等腰三角形的性质求出，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图，
点的运动路径的长的长的长
，
故选：．
利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题，根据四点共圆的性质得：，由垂径定理得：，则．
【解答】
解：如图，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
延长交于点，
，
，
．
故选C
8.【答案】
【解析】解：设矩形的宽为，长为，
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
，，
，，
故选：．
根据图形列方程组求解．
本题考查了一元二次方程的应用，掌握数形结合思想是截图的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
【解答】解：由题意得该厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，
所以可得方程．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：是一元二次方程的一个根．
，
即，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：为直径，
，
四边形为平行四边形，
，，
，所以选项正确；
由垂径定理得到
根据三角形的中位线得到，选项B正确；
，所以选项的结论错误；
，，
平分，所以选项的结论正确．
故选：．
利用圆周角定理得到，再根据平行四边形的性质得到，，利用，可对选项进行判断；利用垂径可判断为的中位线，则，可对选项进行判断；同时得到，则可对选项进行判断．
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题是作图题，过直线外一点作已知直线的垂线，考查了圆有关的性质：直径所对的圆周角是直角，以及线段垂直平分线的基本作图依据作图，根据直径所对的圆周角为即可得解．
【解答】
解：作图依据是：利用直径所对的圆周角是直角．
即直径所对的是直角．
作法：在直线上取一点，连接，作的垂直平分线，取线段中点，以点为圆心，线段为半径作圆，交直线于点，作直线，直线就是所求的垂线．
故选A．
13.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
故答案为：
连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆周角定理与圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【解答】
解：如图，取优弧上的一点，连接，，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：第一年的产量为，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为，
则列出的方程是．
故答案是：．
可先表示出第一年的产量，那么第一年的产量增长率，把相应数值代入即可求解．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用整体代入法求代数式的值，一元二次方程的解等知识点，解决本题的关键是由题意求得根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【解答】
解：是方程的一个解，
，
则
．
17.【答案】解：设路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或舍去，
答：道路的宽应为米．
【解析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
设路宽为米，根据题意列出等量关系解方程即可．
18.【答案】解：设条带的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，舍去．
答：丝绸条带的宽度为．
设每件工艺品降价元出售，
由题意得：．
解得：．
所以售价为元．
答：当售价定为元时能达到利润元．
【解析】设出条带的宽，利用面积关系即可列出方程求解；
设每件工艺品降价元出售，则降价元后可卖出的总件数为，每件获得的利润为，此时根据获得的利润卖出的总件数每件工艺品获得的利润，列出方程，求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．
19.【答案】解：设年平均增长率为，由题意得：
，
解得：，舍去，
答：东部华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为；
设每杯售价定为元，由题意得：
，
解得：，，
为了能让顾顾客获得最大优惠，故，
答：每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额．
【解析】设年平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
设每杯售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
20.【答案】解：设这两年该企业年利润平均增长率为根据题意得
，
解得，不合题意，舍去．
答：这两年该企业年利润平均增长率为．
如果年仍保持相同的年平均增长率，那么年该企业年利润为：
，
答：该企业年的利润能超过亿元．
【解析】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
设这两年该企业年利润平均增长率为根据题意得，解方程即可；
根据该企业从年到年利润的年平均增长率来解答．
21.【答案】解：切于点，切于点，
，，
，
是等边三角形，
，
；
作于，如图所示：
则，
由得：是等边三角形，
，
，
，
，
，
点到弦的距离为．
【解析】此题考查了切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点；熟练掌握切线的性质和垂径定理是解题的关键．
由切线长定理得出，，证出是等边三角形，得出，即可得出答案；
作于，由垂径定理得出，由等边三角形的性质得出，，由勾股定理得出，求出即可．
22.【答案】解：直线和的位置关系是相切，
理由是：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
已知为的一点，
直线是的切线，
即直线和的位置关系是相切；
，的半径是，
，，
在中，由勾股定理得：，
切于，切于，
，，
设，
在中，由勾股定理得：，
则，
解得：，
即．

【解析】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线的判定推出即可；
根据勾股定理求出，根据切线长定理求出，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
23.【答案】证明：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
解：连接，，，，
的度数为，
，
，
，
由同理得：，
，
是的中位线，
．
【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰直角三角形解决问题，属于中考常考题．
根据圆周角定理得：，由三角形的内角和定理和平角的定义得：，最后由等腰三角形的判定和性质可得结论；
连接，，，，先根据勾股定理得，再证明是的中位线，可得的长．
24.【答案】证明：在和中，
，
≌；
连接，如图，
，
，
，
垂直平分，
，
为等边三角形，
，
为直径，
，
，
，
而，
为等边三角形，
，
，
四边形是菱形．
【解析】利用“”可证明≌；
连接，如图，先根据垂径定理得到，则垂直平分，所以，再分别证明为等边三角形和为等边三角形，从而得到，然后根据菱形的判定方法得到结论．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质．
25.【答案】解：根据题意，得．
解这个方程，得：不合题意，舍去，．
所以的值为．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出画心的长和宽，难度不大．
根据隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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