2023-2024学年福建省三明十中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中一定是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.菱形不具备的性质是( )
A. 对角线一定相等 B. 对角线互相垂直 C. 是轴对称图形 D. 是中心对称图形
3.下列命题是假命题的为( )
A. 对角线相等的菱形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
4.根据下表：
确定方程的解的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5.一元二次方程根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
7.某厂家年月份生产口罩产量为万只，月份生产口罩的产量为万只，设从月份到月份该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程( )
A. B.
C. D.
8.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，是的中点，连接，则线段的长等于( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，正方形中，，，、交于点，连接，给出下列结论：；；；，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.一元二次方程的一般形式是______ ，其中二次项系数是______ ，一次项系数是______ ，常数项是______ ．
12.若关于的一元二次方程有一根为，则的值为______ ．
13.如图，在中，，，，为的中点，则的长为______ ．
14.在一个不透明的袋中装有若干个红球和个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球次，其中有次摸到黑球，估计袋中红球的个数是______．
15.从，，这三个数中任取两个不同的数分别作为点的横坐标和纵坐标，则点在第三象限的概率是______．
16.如图，在正方形中，，点是边上一个动点不与点，重合，将沿翻折到，再将沿翻折得到当点恰好落在正方形的边所在的直线上时，线段的长度为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.已知关于的一元二次方程．
若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根；
对于任意的实数，判断方程根的情况，并说明理由．
四、解答题（本大题共7小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
用适当的方法解方程：
；
．
19.本小题分
将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机的抽取一张卡片不放回，将该卡片正面上的数字作为十位数字，再随机的抽取一张卡片，将该卡片正面上的数字作为个位数字，则组成的两位数恰好是的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
20.本小题分
如图，中，，是边上的中线，分别过点，作和的平行线，两线交于点，且交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
21.本小题分
商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元用含的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？
22.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，动点从开始沿边向以的速度运动；从点开始沿边向以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．
当运动时间为秒时，用含的代数式表示以下线段的长：______，______；
当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？
当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？
23.本小题分
如图，用篱笆靠墙围成矩形花围，墙可利用的最大长度为米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为米．
若围成的花圃面积为米时，求的长；
如图若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为米，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求的长？如果不能，请说明理由．
24.本小题分
如图，在矩形中，，，点是上一点．
将沿折叠后，点正好落在边上的点处，求线段的长；
如图，延长图中线段至，使，以、为两邻边作平行四边形，
连接交于求证：点为的中点；
如图，在的条件下，连接交于点，连接、，试判断与之间的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，不是一元二次方程，故A错误；
是一元二次方程，故B正确；
不是整式方程，故C错误；
含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误．
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据菱形的性质可知：
菱形的对角线互相垂直平分；
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
进行的对角线相等，而菱形不具备对角线一定相等．
故选：．
根据菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．即可判断．
本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
3.【答案】
【解析】解：对角线相等的菱形是正方形，故A是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故B是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故C是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D是假命题，符合题意；
故选：．
根据正方形的判定方法逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形的判定．
4.【答案】
【解析】解：由表格得：时，，时，；
时，，时，，
可得方程的解取值范围是或．
故选：．
观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可．
此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
方程有两个不相等的两个实数根．
故选：．
先计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且．
故选：．
由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得，
故选：．
利用月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从月份到月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．先利用列表法展示所以种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占种，然后根据概率定义求解．
【解答】
解：列表如下：
，
共有种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占种，
所以小亮恰好站在中间的概率．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：菱形的周长为，
，
对角线、相交于点，
，
是的中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】在正方形中，，，
又，
≌，
，，
，
，
．
故，正确；
，，，
，
，
，
，
∽，
，
故不正确
≌，
，
，
，
故正确．
故选：．
根据正方形的性质证明≌，可得；，证明∽，可得，故不正确；由可得，故正确．
本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及三角形面积的知识点，解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质．
11.【答案】
【解析】解：一元二次方程可化为，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
故答案为：，，，．
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
先把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
又为的中点，
．
故答案为：．
先运用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长．
本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．
14.【答案】
【解析】解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是个，
故答案为．
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
15.【答案】
【解析】解：从，，这三个数中任取两个不同的数分别作为点的横坐标和纵坐标，共有以下种情况：
则点在第三象限的概率是：．
故答案为：．
由列表法或树状图法得出所有可能出现的结果，进而求出点在第三象限的概率．
考查概率的求法，列表法或树状图法得出所有可能出现的结果总数是解决问题的关键．
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查翻折变换折叠问题、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
当点落在边上时，由翻折可得，，证明≌，可得，，设，则，，在中，根据，可得方程，求解即可；当点落在的延长线上时，由翻折可得，则，在中，可得．
【解答】
解：当点落在边上时，
由翻折可得，，
四边形为正方形，
，，
在和中
≌，
，
，
设，
则，，
在中，
，
，
解得，
即．
当点落在的延长线上时，
由翻折可得，
，
，
在中，
，，
．
综上所述，或．
17.【答案】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
原方程为，
解得，，
即：，方程的另一根为．
方程，
，
对于任意的实数，方程有两个实数根．
【解析】利用一元二次方程的根的意义即可求出的值，进而得出一元二次方程，解方程即可得出结论；
利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解本题的关键是求出的值．
18.【答案】解：，，，
，
，
，；
整理得，
因式分解得，
，，
，．
【解析】用求根公式进行计算即可得到答案；
用因式分解法整理变形得到，计算即可得到答案．
本题考查用求根公式和因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握用求根公式和因式分解法求解一元二次方程．
19.【答案】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，组成的两位数恰好是的倍数的有种情况，即，，，
组成的两位数恰好是的倍数的概率是．
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数恰好是的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，且．
在中，为边上的中线，
．
．
四边形是平行四边形．
，
．
，
．
平行四边形是菱形；
解：中，为边上的中线，，，
，，
由勾股定理得．
四边形是平行四边形，
，
．
【解析】此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
欲证明四边形是菱形，需先证明四边形为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
根据勾股定理得到的长度，由平行四边形的性质求得的长度，然后由菱形的面积公式：进行解答．
21.【答案】解：；
解：设每件商品降价元，则
由题意得：，
化简得：，
即，
解得：，，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价元，商场日盈利可达元．
【解析】解：降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
本题考查列代数式和一元二次方程的应用，得到总盈利元的等量关系是解决本题的关键．
22.【答案】解：，；
由题意可得：，，
，
，
设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形．
由得，，解得，
当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．
，
，
设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形．
由得：，解得：，
又
平行四边形为矩形．
当运动时间为秒时，四边形为矩形．
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的判定以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
根据题意可直接得出；
由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
由在梯形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，，
故答案为：，；
见答案．
23.【答案】解：设的长度为米，则的长度为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
，
舍去．
答：的长为米．
不能围成，理由如下：
设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为米的花圃．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设的长度为米，则的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设的长为米，则的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为米，即可得出关于的一元二次方程，由该方程的根的判别式，即可得出方程无解，即不能围成面积为米的花圃．
24.【答案】解：如图中
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，设，
在中，，
，
，
．
如图中，连接，由此到，使得．
，，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
结论：．
理由：如图中，连接．
四边形是矩形，
，
、关于对称，
，
，
．
【解析】首先利用勾股定理求出的长，设，在中，构建方程即可解决问题；
如图中，连接，由此到，使得想办法证明≌即可解决问题；
理由三角形中位线定理证明即可；
本题考查四边形综合题、矩形的性质和判定、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考压轴题．
第1页，共1页