2023-2024学年四川省巴中市九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.方程的一般形式为( )
A. B. C. D.
4.已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为( )
A. B. C. D.
5.用配方法解方程下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
6.关于的方程有两个不相等的实数根，则的值范围是( )
A. 且 B. 且 C. D.
7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( )
A. B. C. D.
8.三角形的一边长为，另两边长是方程的两个实数根，则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第象限．( )
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
10.一个三角形的两边长分别为和，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是( )
A. B. 或 C. D. 以上选项都不正确
11.已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
12.对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中较大的数，如：按照这个规定，方程的解为( )
A. ， B. ，
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13.已知是关于的一元二次方程的一个根，那么______．
14.关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是______ ．
15.若方程有两个实数根，则的取值范围是______．
16.已知，则______．
17.设，是关于的方程的两个根，且，则 ______ ．
18.如图，在中，，，为边上的高，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动设的面积为，矩形的面积为，运动时间为，则 ______ 时，．
三、解答题（本大题共5小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程：
配方法
；
；
．
20.本小题分
关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围．
是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题下面给出两个例子：
例、分解因式：
例、求代数式的最小值：
又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
分解因式：；
代数式有最______ 大、小值，当 ______ 时，最值是______ ；
当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
22.本小题分
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润据测算，每件童装每降价元，平均每天可多售出件．
每件童装降价多少元时，平均每天盈利元．
当童装销售价为多少元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为多少？
23.本小题分
某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙墙足够长，另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
设米，试用含的代数式表示的长；
请你判断谁的说法正确，为什么？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.该方程是分式方程，故本选项不合题意；
C.该方程化简可得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选A．
一元二次方程的一般形式是：是常数且其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3.【答案】
【解析】解：方程整理得：，即，
则方程的一般形式为．
故选：．
方程整理为一般形式，即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有一个非零根，
，
，
，
方程两边同时除以，得，
．
故选：．
由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解．
此题主要考查了一元二次方程的解．
5.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，
根据题意得：，
即．
故选D．
根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
则或，
解得，，
则三角形的三边长度为、、，
，
这个三角形是直角三角形；
故选：．
先利用因式分解法求出方程的解，再由勾股定理的逆定理即可判断其形状．
本题主要考查勾股定理的逆定理，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
【解答】
解：一元二次方程无实数根，
，
，
，
，即，
，即，
一次函数的图象不经过第一象限，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：方程，
可得或，
解得：或，
当时，，，不能构成三角形，舍去；
则，此时周长为．
故选C
由两数相乘积为，两数中至少有一个为求出方程的解得到第三边长，即可求出周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三边关系，求出的值是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由数轴看出，，
是关于的一元二次方程，
，
，，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：当时，即，方程转化为，
整理得，
解得，
当时，即，方程转化为，
整理得，
解得，舍去，
综上所述，方程的解为，．
故选：．
当时，即，方程转化为，当时，即，方程转化为，然后分别解两个一元二次方程得到满足条件的的值．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了对新定义的理解能力．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义，：把代入得，然后解关于的方程即可．
【解答】解：把代入得，
解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，得
，
解得；
设关于的一元二次方程的另一个根为，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程求得的值，然后通过根与系数的关系求得方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
15.【答案】，且
【解析】解：方程有两个实数根，
，
即，且
若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
16.【答案】
【解析】解：设，则
，
整理，得
，
解得或不合题意，舍去．
故．
故答案是：．
先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
17.【答案】
【解析】解：根据题意，知，则，
将其代入关于的方程，得．
解得．
故答案是：．
根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
18.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，为边上的高，
，
，
则，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：舍去，
故答案为：．
利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出和，然后根据，即可列方程求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出和是关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
，
，
，
，
，
，；
，
，
，
或，
，；
，
，
，．
【解析】方程两边都除以并将常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
解法同；
化成，用因式分解法解方程；
将看作一个整体，用因式分解法解方程．
本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
假设存在，设方程的两根分别为、，则，．
，
．
且，
不符合题意，舍去．
假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于．
【解析】由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；根据根与系数的关系结合，列出关于的方程．
21.【答案】大
【解析】解：；
，
，
当时，代数式有最大值，最小值是．
故答案为：大，，；
，
当，时，这个多项式有最小值，最小值为．
仿照例的解题思路，利用配方法即可解答；
仿照例的解题思路，利用配方法即可解答．
本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
22.【答案】解：设每件童装降价元时，平均每天盈利元，
可根据题意列出方程：，
解得：，；
答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元．
设专卖店平均每天所获利润，由题意得，
，
整理得：，
当时，最大为．
答：当童装销售价为元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为元．
【解析】设每件童装降价元时，每件盈利，每天销量，列出方程计算即可；
根据题意设专卖店平均每天所获利润，建立二次函数关系式，求出最值即可；
本题考查了一元二次方程的解法和二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解答本题的关键．
23.【答案】解：设米，可得；
小英说法正确；
理由：矩形面积，
，
，
，
当时，取最大值，
此时，
面积最大的不是正方形．
故小英说法正确．
【解析】设米，根据等式，可以求出的表达式；
构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
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