2023-2024学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》
期中复习综合练习题（附答案）
一、单选题
1．若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)
A． B． C． D．不能确定
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的方程的根是3和，则代数式可分解因式为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若实数m，n满足条件：，，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．2或
6．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为元的药品进行连续两次降价后为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A． B． C． D．
8．对于一元二次方程，正确的结论是（ ）
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是一元二次方程的根，则．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．一元二次方程的根是_____________________．
10．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为______．
11．已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
12．设，是方程的两个根，则__________．
13．等腰三角形的两边长为方程的两根，则这个等腰三角形的周长为_________
14．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是____
15．如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为 的花圃， 的长是____．

16．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________

三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．已知，是方程的两实数根，求：
(1)，
(2)的值．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
20．已知关于x的方程．
(1)当方程一个根为时，求m的值．
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰的一腰长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则的面积为______．
21．某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元．
(2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）．
(3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少．
22．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，此时点到墙底端点的距离为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米？
(1)请你将下面的解答过程补充完整．
解：设点将向外移动，即，
则，，
而，则在中，由，
得方程为__________；
解得_________；_______；
∴点将向外移动________m．
(2)①如果将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？
②梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
参考答案
1．解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
2．解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：B．
3．解：∵关于的方程的根是3和，
∴原方程为，
∴，
故选：C．
4．解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故选：A．
5．解：当时，
．
当时，
由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得，
∴．
综上可知，的值是2或．
故选D．
6．解：设平均每次降价的百分率为x，
则第一次降价后的价格为：，
则第二次降价后的价格为：，
所以，可列方程：．
故选：B．
7．解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，，
，，
，
，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
是边上的高，
，
，
．
故选：A．
8．解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
，
又方程的判别式为，
，
方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③若是一元二次方程的根，
则根据求根公式得：或，
或，
，
故③正确；
综上，①②③正确．
故选：D．
9．解：
或
，
故答案为：．
10．解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0，
∴，
∴，
故答案为：4．
11．解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：2023．
12．解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：4．
13．解：，
因式分解，得，
解得，
等腰三角形的边长是方程的两个根，
这个等腰三角形的两边长为，
(1)当边长为的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，
此时，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
(2)当边长为的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，
此时，满足三角形的三边关系定理，
则这个等腰三角形的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为，
故答案为：．
14．解：把代入原方程得：，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故答案为：4045．
15．解：设的长为 ，则的长为 ，
由题意得， ，整理得 ，
解得，或，
当时，的长为 ，不满足题意，舍去，
∴的长为，
故答案为：．
16．解：利用平移，原图可转化为，如图所示，

设小路宽为x米，
根据题意得：，
故答案为：．
17．（1）解：移项，得
配方，得
即
由此可得
，
（2）解：因式分解，得
于是得，
，
（3）解：整理，得
配方，得
即
由此可得
，
（4）
解：，，
方程有两个不相等的实数根
即，
18．（1）解：∵，是方程的两实数根，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，是方程的两实数根，
∴，，
∴；
19．（1）解：∵方程有实数根，
∴，整理得，解得，
∴实数m的取值范围是．
（2）解：由两根关系得，
∴，即，整理得：，解得：（不符合要求，舍去）或，
∴．
20．（1）解：当时，方程为，
整理得，
解得；
（2）证明：∵
，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（3）解：∵等腰的一腰长，
∴方程有一个根为6，
将代入原方程，得：，
解得：，
∴原方程为，
解得：．
∵2、6、6能组成三角形，
不妨设，则，
作于D，则，

∴，
∴该三角形的面积为．
故答案为：．
21．（1）解：，
(元)，
故答案为：450，6750；
（2）解：销售量为：；
月销售利润为：(元)，
故答案为：，；
（3）解：商品想在月销售成本不超过元的情况下，即销售量不超过，
设此时售价为x元，
则，
解得，，
当时，销售量为：，符合题意，
当时，销售量为：，不符合题意，
故销售单价应为80元．
22．(（1）解：补全解答过程：
在中，
∵，，
，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点将向外移动．
故答案为：；；（不合题意，舍去）；．
（2）①不会．
理由：
若，
则，
，
∵，，
∴，
∴该题的答案不会是；
②有可能相等．
理由：设梯子的顶端从点处下滑，点将向外移动，则有：
，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴当梯子的顶端从点处下滑时，点也向外移动，即梯子的顶端从点沿墙下滑的距离与点向外移动的距离相等．