专题2.14 一元二次方程的根与系数的关系（分层练习）
一、单选题
1．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．1 B． C．2023 D．
3．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（ ）
A．a，c异号 B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号 D．b，c异号
5．已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
6．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．若方程有两个同号不等的实数根，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
9．如图，四边形是边长为5的菱形，对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
10．已知m，n是方程的两个根.记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
13．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
15．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
16．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
17．已知是一元二次方程的两实数根，则的值是 ．
18．若一元二次方程的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数的图象一定不经过 象限．
19．关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是 ．
20．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积是 ．
21．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
22．已知，，且，则 ．
23．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则 ．
24．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
25．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ．
26．已知实数， 满足等式，，则的值是 ．
27．关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k= ．
28．若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
29．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
30．如图，点是的边的中点，且，设，则的取值范围是 .
三、解答题
31．已知关于的方程的一个根为，求的值及另一根．
32．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个根分别为，且，若，求m的值．
33．已知．
(1)化简；
(2)若、是关于的方程的两个实数根，求的值．
34．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，满足，求m的值．
35．关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
36．阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另一个根是a，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
2．B
【分析】由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为、，
∴，，，
∴
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
3．C
【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：，，
∴一次函数解析式为：，
故一次函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
4．B
【分析】设一元二次方程的两根为，根据根与系数的关键得到，再根据题意有，由此即可得到答案．
【详解】解：设一元二次方程的两根为，
∴，
∵一元二次方程有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大，
∴，
∴a，c异号；a，b同号，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
5．A
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：∵，的长度是方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的面积．
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、菱形的面积等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
6．A
【分析】先将化简，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到的值，从而得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
，是一元二次方程的两根，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
7．D
【分析】根据方程有两个同号不等的实数根，得到，以及两根之积大于0，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个同号不等的实数根，
∴，解得：；
故选：D．
【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，，以及两根之积为是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意可得m，n可以看作一元二次方程的两根，则，，整理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴m，n可以看作一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为，两根之积为．
9．B
【分析】根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到．
【详解】解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是解题的关键．
10．B
【分析】由一元二次方程根与系数关系得，再计算得，，…，，从而得到，由题意得，求解即可得解．
【详解】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，
∴，
，
…..
，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵t为正整数，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，分式化简求值，熟练掌握解一元二次方程和一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
11．D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
12．A
【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程．
【详解】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°，
在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，
∵DE＝BE＝a，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∴CE＝BE＝a，
∴AC＝AE+CE＝c+a，
∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，
∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程．
13．D
【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，，
∵方程有两个不同的实数解，
∴，
解得：．
又∵方程的两根，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出．
14．B
【详解】解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
15．D
【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1 x2=2n＞0、y1 y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
16．2035
【分析】由，是方程的两个实数根，可得，，则，而，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
17．
【分析】先根据根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
18．第二
【分析】根据根与系数的关系可得出、，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解．
【详解】解：方程的两个实数根分别是、，
、，
则一次函数的解析式为，
，，
该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：第二．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
19．
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数得关系解答即可．
【详解】由题意得： ，
∴，
∴，
∴，，
∵关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，
∴，
解得：
∴的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．25
【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，
∴，
∴菱形的面积．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
21．5
【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，即：，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
22．
【分析】根据，把方程两边同时除以，然后把，看成的两个实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由题意知：，，
把变形为，
∵，，且，，
∴把，看成的两个实数根，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练的掌握根与系数的关系是解题的关键．
23．2
【分析】根据根与系数的关系得、，再代入到即中解方程可得的两个值，根据根的判别式进行取舍．
【详解】解：∵、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即：
∵，即，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系得到此方程的两根和与两根积是解题的关键．
24．
【分析】根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，根据韦达定理和勾股定理求解即可．
【详解】设两条直角边的长分别是，
∴，
∴，
∴直角三角形斜边的长是．
故答案为：
【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为．
25．
【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．
【详解】由根与系数的关系得，，
∴，
则，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
26．
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
27．2
【分析】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可求出x1+x2=k，x1 x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可．
【详解】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，
则x1+x2=k，x1 x2=-2k．
∵原方程两实数根的平方和为12，
∴，
∴，即．
解得：，．
∵方程有两实数根，
∴，即，
∴或．
∴舍去．
综上．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的公式是解答本题的关键．
28．2024
【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案．
【详解】解：是一元二次方程的两个实数根，
【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解．
29．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的综合运用，先由根与系数的关系得到另外两边的关系，再结合勾股定理列出方程。本题的关键是分类讨论。
30．
【分析】根据“点是的边的中点，且”得出AB的长度以及△ABC是直角三角形，设出AC和BC的值，得到一个一元二次方程，根据根的判别式求出x的取值范围，即可得出答案.
【详解】∵点是的边的中点，且
∴AB=4，△ABC是直角三角形
故x=AC+BC>AB=4
令AC=a，BC=b
∴
∴
∴a，b是关于y的一元二次方程的两个实数根
∴
即：.
综上所述，x的取值范围是：.
【点睛】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系这一知识点．.
31．方程的另一根为，m的值为2
【分析】设另一根为t，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解二元一次方程组即可．
【详解】解：设另一根为t，由题意得，
∴，
∴方程的另一根为，m的值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
32．(1)见解析
(2)或
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴
．
∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵的两个根分别为，且，
∴，
∵
∴
即
∴
解得：或
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， (为常数)的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握以上知识是解题的关键．
33．(1)
(2)27
【分析】（1）根据，进行化简即可；
（2）由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴的值为27．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
34．(1)
(2)
【分析】（1）根据原方程有两个实数根，，可得，从而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再分两种情况讨论即可.
【详解】（1）解：
，
∵原方程有两个实数根，∴ ，
解得：；
故原方程有两个实数根时，.
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
当时，据题意可得，
解得
则，∴，
当时，据题意可得，
解得，∵，∴应舍去，
综上可知：m的值为.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记概念并灵活运用是解本题的关键.
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。
（2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。
【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：，
，
、、是的三条边，其中，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是、，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．
36．(1)；；
(2)；
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
答案第1页，共2页
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