2023年中考模拟数学试题（一）
数 学 试 卷 满分150分
一、选择题（每小题3分,共30分）
1．2023的相反数是（　　）
A．2023 B．-2023 C． D．-
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）
3．某种冠状病毒的直径为0.00000012纳米，这个数用科学记数法应表示为（ ）．
A．1.2×10﹣7 B. 1.2×107 C. 0.12×10﹣6 D. 0.12×106
4．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
读书时间（小时） 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是( )
A．9，8 　　 　B．9，9 　　　 C．9.5，9 　　 　D．9.5，8
6．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．将一块三角板如图放置，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点B，C分
别在PQ，MN上，若PQ∥MN，∠ACM＝42°，则∠ABP的度数为（　　）
A．45° B．42° C．21° D．12°
8．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，
C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点
C，D都在双曲线y＝上（k＞0，x＞0），则k的值为（　　）
A．25 B．18 C．9 D．9
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大
于AC的长为半径作弧，两弧分别交于点D，E，直线DE交AC于
点F，交AB于点G，AC＝4，AB＝3，则CG的长为（　　）
A．4 B． C． D．2
10．如图，等边△ABC的顶点C和□DEFG的顶点D重合，且BC和DE在同一条直线上，AB=2，DG=2，DE=3，∠GDE=60°．现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止运动，在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分,共18分）
11．分解因式：2a3﹣8a＝　 　．
12．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为　 　．
13. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=________°．
14. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，则______．
15. 如图，点为内部一点，连接，，量得，图中的三个扇形（阴影部分）的半径均为1，则阴影部分的总面积为______．16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，…在直线1上，点，点，，…在轴的正半轴上，若，，，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形的顶点B2023的坐标为______。
三、解答题（共102分）
17. （8分）先化简，再求值： ， 其中
18．（12分）3月5日是学雷锋纪念日，为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，新泰市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求该班的人数；
（2）请把折线统计图补充完整：
（3）求扇形统计图中，网络文明部
分对应的圆心角的度数；
（4）该校计划对参加活动最积极的小
颖同学奖励两枚“2022·北京冬梦之约”
的邮票．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”
的四枚邮票供小颖选择，依次记为，，
，，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，
洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．
19．（10分）某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元．
（1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）根据需求，商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且购进两种纪念品的总费用不超过5250元，则最多购进甲种纪念品多少件？
20.（10分）在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上，点A在函数的图象上，点D的坐标为(4,3)。
(1)求k的值；
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.
21．（10分）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6m，坡角为30°，改造后的斜城式自动扶梯的坡角为16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC增加的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，）
22.（12分）已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且，．
（1）求证：PA为圆O的切线；
（2）如果，求AC的长．
23．（12分）营口鲅鱼圈是一个美丽的海滨城市，夏季里游泳是一个很好的地方，泳装是必不可少的。某网店经销某种品牌泳装，每件成本30元，网店按单价不低于成本，且不高于50元销售．在销售过程中发现，泳装每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足
一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该泳装每天的销售量y（件）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当每件泳装的售价为多少元时，每天销售泳装获得的利润为1050元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使每天销售泳装获得的利润
W（元）最大？最大利润是多少元？
24．（14分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．
（1）如图1，若连接BD、CE，求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，若连接CD、BE，取BE中点F，连接AF，试探究AF与CD的数量关系和位置关系，
并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝1.5，AC＝2，请直接写出线段AD的长．
25．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），B（﹣1，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A和点C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）连接CD，若抛物线上存在一点P，
使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，
求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，
使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线段
QA1，且A1恰好落在抛物线上？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
数学参考答案（一）
一、BCADA BDCBB
二、11.2（a+2）（a-2） 12. 13.125 14.7.2 15. 16.（22023-1，0）
三、17.原式=x-2=3
18. （1）48 （2）见详解 （3） （4）
19. （1）140元；15元 （2）30件
20. 解:(1)过点D作x轴的垂线,垂足为点F∵点D的坐(4，3) , OF = 4 , DF = 3 ,
∴ OD = 5 , ∴ AD = 5 ∴点A的坐标为(4,8).∵点A在函数y=的图象上,∴k=4×8=32.
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移,使得点D落在函数的图象点处,过点作x轴的垂线,垂足为点 ∵DF=3,∴=3,∴点的纵坐标为3
∵点在的图象上,∴, 解得 即
∴菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为
21. 解：∵∴在中，m
中，m∴m．
22.(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，
又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°，∵∠P=∠BAC，∴∠P+∠AOP=90°，
∴∠PAO=90°，∴PA⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；
（2）由（1）得：∠PAO=∠ACB=90°，又∵∠P=∠BAC，OP=BA，∴△OAP≌△BCA（AAS），
∴BC＝OA＝AB＝1，∴．
23.解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100），70）
代入一次函数表达式，得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）∵利润为W， 由题意得：W＝（x﹣30）（﹣6x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵获得的利润为1050元，
∴﹣2（x﹣55）2+1250＝1050，解得：x＝65或45，∵30≤x≤50，∴x＝45，
故当每件泳装的售价为45元时，每天销售泳装获得的利润为1050元；
（3）∵W＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，W有最大值，W＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大．
24.证明：（1）如图1，设EC与BD交于点O，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BD⊥CE；
（2）CD＝2AF，CD⊥AF，理由如下：如图2，延长EA至H，连接BH，
∵BF＝EF，AE＝AH，∴BH＝2AF，BH∥AF，∴∠EAF＝∠H，
∵∠DAH＝∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠DAC，
又∵AB＝AC，DA＝AE＝AH，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴BH＝CD，∠ADC＝∠H，
∴∠EAF＝∠ADC，CD＝2AF，∵∠EAF+∠DAG＝90°，
∴∠ADC+∠DAG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AF⊥CD；
（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，由（2）可知：CD＝2AF＝3，
∵AB＝AC＝5，∠BAC＝90°，∴BC＝4，AN＝BN＝CN＝2，∴DN＝5，
∴AD＝＝＝．
25解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），
把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）当点P在直线AC下方时，如图1，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，
∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，
点P与点B重合，即：P（﹣1，0），
过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得，（是点B的纵横坐标）或，
∴P（4，﹣5），当点P在AC上方时，如图2，
过点P作PH∥y轴交AC于H，设点P（m，﹣m2+2m+3），
∴H（m，﹣m+3），∴PH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△ACD＝AD yC＝×（3﹣1）×3＝3，∴（﹣m2+3m）＝2×3＝6，∴m2﹣3m+12＝0，
此方程无实数根，此种情况不存在，∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）存在，理由：如图3，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，
由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求；
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），
代入y＝﹣x2+2x+3中，解得，m＝﹣3或m＝2（舍），∴Q的坐标为（1，﹣3），
∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．
A．
B．
C．
D．
13题
16题
15题
14题