3.9、复合函数和抽象函数的奇偶性
复习：我们之前学习了复合函数的初步，学习了复合函数解析式、定义域、值域的求法
一、 定义域：①自变量要满足内层函数的要求，②内层函数的值域要满足外层函数的要求
二、 值域：由内向外一层一层的求解
三、复合函数的奇偶性（单调性常考，奇偶性不常考）
【例1】若，讨论复合函数，，，奇偶情况
解：为奇函数；为偶函数；为偶函数；为偶函数提炼总结得出结论：
内层函数
奇函数 偶函数
外层函数 奇函数 奇 偶
偶函数 偶 偶
结论：内外层都为奇函数才是奇函数，内外有偶函数即为偶函数，口诀：全奇则奇，有偶则偶（负号历险记）
【例2】（1）若是奇函数，则下列说法正确的是____
① ②
（2）若是奇函数，则下列说法正确的是____
① ②
解：（1）②是正确的，因为的自变量是，自变量取相反数时整体取相反数，函
数值是相反数，
（2）①是正确的，因为的自变量是，当自变量取相反数时，函数值是相反数。
利用对称性解释：是奇函数，则平移前关于点（1,0）的中心对称，而，表示关于点（1,0）对称
【例3】若是定义在上的单调递增函数，则下列四个命题：
①若，则
②若，则
③若是奇函数，则也是奇函数
④若是奇函数，则
正确的是________
解：①增函数，且，正确
②假设，增函数，则有，则有，与已知不符，②正确
③是奇函数，吐负号，所以也是奇函数，正确
④是奇函数，。且增函数，故，正确
故①②③④正确
求抽象函数的奇偶像
判断函数的奇偶性，关键构造出，对于相加的关系式，一般利用关系式，对于相乘得关系一般利用关系式
【例4】（1）设函数的定义域为R，对任意，恒有 成
立，则函数奇偶性是什么？
解：令，得，；令，则有
为奇函数
设函数的定义域，对任意非0的恒有成
立，则函数奇偶性
解：令，解的
令，，再令解，所以 偶函数
设函数的定义域为R，对任意，恒有且
，则的奇偶性是什么？
解：令，解的
令，，，为偶函数
【例5】已知定义在上的函数满足对任意，有
则（ ）
A、是偶函数 B、是奇函数
C、是偶函数 D、是奇函数
解：令，
令，
令，，
所以为奇函数，答案为D
【例6】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ）
B、
D、
解：，，函数为递增，且
令，，
令，
答案：D
【例7】定义上的奇函数满足，若，，
则
解：令，，且
所以可知
，，，
令，
，，，
求抽象函数的单调性
判断函数的单调性，关键构造出具有大小关系的自变量，并函数值作差形式，有两种方法，
1、如果函数是奇函数，利用奇函数的性质，，把符号移动到括号里
2、移项可得
【例8】设函数的定义域为R，对任意，恒有 成立，当
则函数单调性
解：由例2得，为奇函数
设，，<0，所以减函数
【例9】已知定义在上的减函数满足条件：对任意，总有
则关于的不等式的解集______
解：令，
，且为减函数，则
【例10】若函数是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有
（1） 若，试比较与的大小关系
（2）若，求实数取值范围
解:（1），由题意可知，所以
且为奇函数，，，故增函数
（2）
【例11】已知函数在（-1,1）上有定义，当且仅当时，,且对任意都
有
证明为奇函数
判断在（-1,1）上的单调性，并证明
解不等式
解：（1）令，；令，，为奇函数
（2）设，且，
，可得，
若，
因为，所以，
所以函数在（-1,1）为减函数
（3），所以（错误的）
定义域为：（-1,1）可得
【例】已知定义域在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④对任意的,
判断并证明函数的奇偶性
判断并证明函数在上的单调性
解：（1）因为定义域在上奇函数，所以
令,,偶函数
（2）令,则有；所以
令，
，
所以，增函数3.9、复合函数和抽象函数的奇偶性
复习：我们之前学习了复合函数的初步，学习了复合函数解析式、定义域、值域的求法
一、 定义域：①自变量要满足内层函数的要求，②内层函数的值域要满足外层函数的要求
二、 值域：由内向外一层一层的求解
三、复合函数的奇偶性（单调性常考，奇偶性不常考）
【例1】若，讨论复合函数，，，奇偶情况
结论：内外层都为奇函数才是奇函数，内外有偶函数即为偶函数，口诀：全奇则奇，有偶则偶（负号历险记）
【例2】（1）若是奇函数，则下列说法正确的是____
① ②
（2）若是奇函数，则下列说法正确的是____
① ②
【例3】若是定义在上的单调递增函数，则下列四个命题：
①若，则
②若，则
③若是奇函数，则也是奇函数
④若是奇函数，则
正确的是________
求抽象函数的奇偶像
判断函数的奇偶性，关键构造出，对于相加的关系式，一般利用关系式，对于相乘得关系一般利用关系式
【例4】（1）设函数的定义域为R，对任意，恒有 成
立，则函数奇偶性是什么？
解：令，得，；令，则有
为奇函数
设函数的定义域，对任意非0的恒有成
立，则函数奇偶性
设函数的定义域为R，对任意，恒有且
，则的奇偶性是什么？
【例5】已知定义在上的函数满足对任意，有
则（ ）
A、是偶函数 B、是奇函数
C、是偶函数 D、是奇函数
【例6】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ）
B、
D、
【例7】定义上的奇函数满足，若，，
则
求抽象函数的单调性
判断函数的单调性，关键构造出具有大小关系的自变量，并函数值作差形式，有两种方法，
1、如果函数是奇函数，利用奇函数的性质，，把符号移动到括号里
2、移项可得
【例8】设函数的定义域为R，对任意，恒有 成立，当
则函数单调性
【例9】已知定义在上的减函数满足条件：对任意，总有
则关于的不等式的解集______
【例10】若函数是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有
（1） 若，试比较与的大小关系
（2）若，求实数取值范围
【例11】已知函数在（-1,1）上有定义，当且仅当时，,且对任意都
有
证明为奇函数
判断在（-1,1）上的单调性，并证明
解不等式
【例】已知定义域在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④对任意的,
判断并证明函数的奇偶性
判断并证明函数在上的单调性