专题08 用频率估计概率
1．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)摸到白球的概率估计值为________（精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，
①求袋中黑色球的个数；
②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是________．（用含m的式子表示）
2．某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102
(1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）；
(2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______．
A.99.32kg B.203.45kg C.486.76kg D.894.82kg
(3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
3．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 63 123 247 365 484 603
摸到红球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
(1)a＝______．
(2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近______（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率是______（精确到0.1）．
(3)求口袋中红球的数量．
4．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
试验的粒数n 20 80 100 200 400 800 1000 1500
发芽的粒数m 14 54 67 132 264 532 670 1000
发芽的频率 0.7 0.675 0.67 0.66 0.66 0.665 a 0.667
(1)填空：上表中a＝_________；
(2)根据上表，请估计，当n很大时，发芽的频率将会接近多少？（结果保留两位小数）
(3)根据上表，这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？（结果保留两位小数）
5．为了加强疫情防控，某校从4月初开始启动闭环管理，要求所有的学生午餐统一在学校食堂就餐．为了加强对食堂的监控，有效保证饮食质量，学校随机抽取部分学生开展满意度问卷调查，学生根据实际情况给食堂评分．将本次调查结果制成如下统计表：
评分/分 4 5 6 7 8 9 10
人数/人 6 18 36 46 a 28 4
比率 3% 9% 18% 23% 31% b 2%
(1)本次问卷调查，学生所评分数的众数是______分；
(2)根据本次调查结果，若从本校随机抽选一名学生给食堂评分，估计他的评分不低于8分的概率是多少？
(3)学校决定：本次调查综合得分8~10分为“满意”，给予食堂通报表扬；6~8分为“比较满意”，提醒食堂进行改善；0~6分为“不满意”，责令食堂限时整改．根据本次调查结果，判断学校可能对食堂采取何种措施，说明理由．（这里的0~6表示大于等于0同时小于6）
6．不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，每次从袋中摸1个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表中部分数据．
摸球次数 50 200 350 500 650 800 950 1100 1250 1400
出现红色的成功率 14 70 120 165 222 269 318 365 417 466
出球红色的成功率 0.280 0.350 0.343 0.330 0.338 0.336 0.335 0.332 0.334 0.333
(1)观察上面的图表可以估计出现红色小球的概率约为 ．（结果保留两位小数）
(2)小明想了解一次摸出两个球，都是白球的概率，请用画树状图（或列表）的方法，求摸出两个球“都是白球”的概率．
7．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 10000
“正面朝上”的次数 265 512 793 1306 1558 2083 2598 5204
“正面朝上”的频率
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是， 所以“正面朝上”的概率是；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；
其中推断合理的序号是________．
8．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种植数（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
(1)估计该麦种的发芽概率．
(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？
9．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 － 0.94 0.88 0.89 0.90 －
(1)填写表中的空格；
(2)估计任意抽一件衬衣是合格品的概率的估计值；
(3)估计1200件衬衣中，次品大约有多少件？
10．问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）”
（1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？
（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
11．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的______；______；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．
12．小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
（3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”：小覃的这一说法正确吗？
（4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？
13．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白种颜色的球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；这两只球颜色相同的概率是多少？
14．已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共个，小明进行多次摸球实验，并将数据记录如下表：
摸球次数 10 20 40 60 100 150 200
红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81
红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405
（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 ；
（2）从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率．
15．为弘扬我校核心文化——“坿”文化，积极培育学生“敢进取”的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 个除颜色外其他完全相同的小球（数量不详），只知其中有5个红球.
（1）若先从箱子里拿走 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”，则 的最大值为________.
（2）若在原来的箱子里再加入3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 的值是多少吗？
参考答案：
1．(1)0.2
(2)①16；②
【分析】（1）根据图像可以看出，摸到白球的频率在0.2左右附近摆动，根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率约为0.2；
（2）①根据摸到白球的频率与白球的个数可得袋中球的总个数，则根据黑球个数＝袋中球的总个数 白球的个数求之即可；②根据摸出白球的频率＝白球的个数÷球的总个数，然后根据频率与概率的关系，估计出摸出白球的概率．
【详解】（1）解：由题图可以看出，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动，根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率为0.2，
故答案为：0.2；
（2）解：①∵袋子中白球有4个，
∴袋中球的总个数为4÷0.2＝20，
∴袋中黑色球的个数为20﹣4＝16，
②∵将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，
∴袋中白球的个数为4+m，袋中球的总个数为20+m，
∴摸到白球的频率为，根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
2．(1)0.1
(2)B
(3)2.6元
【分析】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案；
（2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案；
（3）设每千克定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列方程求解即可．
【详解】（1）根据表格信息，柑橘损坏的概率约为0.1，
故答案为：0.1；
（2）当抽取柑橘总质量n=2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1=200（kg），
故选：B．
（3）根据柑橘损坏的概率约为0.1，可得能够出售的柑橘为：
（kg）
则定价为：（元）
答：每千克大约定价2.6元比较合适．
【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
3．(1)0.402；
(2)0.40，0.4；
(3)口袋中有红球10个．
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到红球的概率为1-0.4=0.6；
【详解】（1）解： a=603÷1500=0.402，
故答案为0.402；
（2）解：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.40，推测摸到红球的概率是0.4，
故答案为：0.40，0.4；
（3）解：设口袋中有红球x个，则
，
解得x=10，
∴口袋中有红球10个．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．熟记所求情况数=概率乘以总情数是解题的关键．
4．(1)0.67
(2)当n很大时，发芽的频率将会接近0.67
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值约为0.67
【分析】(1)用发芽的粒数m除以每批实验粒数n即可得到发芽的频率；
(2)当n很大时，根据估计，得出发芽频率即可；
(3)8批次种子粒数从20粒逐渐增加到1500粒时，种子发芽的频率趋近于0.67，所以估计当n很大时，频率将接近0.67，这种油菜籽发芽的概率的估计值便可求出；
【详解】（1）解：a=670÷1000= 0.67，
故答案为：0.67；
（2）当n很大时，发芽的频率将会接近0.67；
（3）从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.67附近，
在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的估计值，
所以这种油菜籽发芽的概率的估计值约为0.67．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
5．(1)8
(2)评分不低于8分的概率估计是47%
(3)学校将对食堂采取提醒改善的措施，理由见解析
【分析】（1）根据统计表中4分的人数为6人，占3%求得总人数，进而求得的值，进而根据众数的定义求得众数即可求解；
（2）根据8分以及8分的人数的占比估计概率即可；
（3）根据统计表求得平均数即可求解．
【详解】（1）．．
则8分的人数最多，故众数为8分
故答案为：8
（2）∵由表格知评分不低于8分的频率是，
∴评分不低于8分的概率估计是47%．
（3）分．
∵6≤7.2≤8，
∴学校将对食堂采取提醒改善的措施．
【点睛】本题考查了求众数，平均数，频率估计概率，掌握以上知识是解题的关键．
6．(1)0.33
(2)
【分析】（1）大量反复试验下频率稳定值即概率，观察可知频率稳定在0.33左右，用之估计概率即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：观察上面的图表可以估计出现红色小球的概率约为0.33，
故答案为：0.33；
（2）根据题意画图如下：
共有6种等可能的情况数，其中一次摸出两个球“都是白球”的有2种，
则一次摸出两个球“都是白球”的概率是＝．
【点睛】本题考查的是用频率估计概率，以及用树状图法求概率；树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件，注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．(1)，
(2)②③
【分析】（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；
（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．
【详解】（1）抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是；
若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：
共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，
则两枚硬币都是正面朝上的概率是；
故答案为：，；
（2）①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；
其中推断合理的序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
8．(1)该麦种的发芽概率约为95%；
(2)约需麦种790千克
【分析】（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；
（2）设约需麦种x千克，根据x千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可
【详解】（1）解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%，
故该麦种的发芽概率约为95%；
（2）解：设约需麦种x千克，
x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，
化简得15200x=12000000，
解得x=789，
答：约需麦种790千克
【点睛】本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．
9．(1)0.88，0.90
(2)0.9
(3)120件
【分析】（1）根据频数÷总数=频率，分别求出即可；
（2）根据（1）中所求即可得出任取1件衬衣是合格品的概率；
（3）利用总数× （1-合格率）可得结果．
【详解】（1）解：88÷100=0.88，900÷1000=0.90；
填表如下：
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 0.88 0.94 0.88 0.89 0.90 0.90
故答案为：0.88，0.90；
（2）解：由（1）中所求即可得出：
任意抽一件衬衣是合格品的概率的估计值为0.9；
（3）解：估计次品的数量为1200×(1－0.9)＝120（件）．
答：次品大约有120件．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．（1）小颖；（2）0.50；0.47；；（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率．
【分析】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可．
（2）根据频率=所求情况数与总情况数之比，即可得出结果．
（3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
【详解】解：（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的；
故答案为：小颖；
（2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100=0.50，
小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100=0.47，
据此，我得到“一正一反”的概率是；
（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
11．（1）123；0.404；（2）0.40；（3）0.6；（4）15．
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
【详解】解：（1），；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；
（3）由题意得：摸到白球的概率为0.4，
则摸到红球的概率是；
（4）设红球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，x=15是所列分式方程的解，
则口袋中红球有15只；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1．
12．（1）16；（2）；（3）不正确；（4）不正确，见解析．
【分析】（1）总次数减去1、2、3、4、5点出现的总次数即可求得；
（2）利用频率公式计算即可；
（3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可完成；
（4）根据随机事件发生的概率的意义回答即可答案．
【详解】（1）由题意得：x=100-12-19-15-18-20=16
（2）“3点朝上”出现的次数是15，所以“3点朝上”的频率为：
（3）小覃的这一说法不正确．因为1点朝上的频率是12%，不能说明1点朝上的概率是12%，只有当实验的次数足够多时，事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以把这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
（4）小莫说法不正确的，因为5点朝上的频率是20%，所以掷6000次，则出现5点朝上的次数大概是1200次左右．
【点睛】本题考查了频率的计算，用频率估计概率，关键是了解“大量重复实验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”．
13．（1）0.6；（2）3；（3）图见解析，．
【分析】（1）根据图表所给的频率估计概率即可；
（2）根据（1）得到摸到白球的概率，然后利用概率公式计算白球的个数即可；
（3）先利用树状图确定所有可能的结果数和两只球颜色不同所占结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据图表所给的频率可估计摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）由（1）可得摸到白球的概率为0.6，则口袋中白种颜色的球的个数为5×0.6=3；
（3）画树状图为：
则共有20种摸法，摸到两只颜色相同的有8种，
则摸到两只球颜色相同的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、运用概率公式计算以及运用列表法与树状图法求概率，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
14．（1）0.4；（2）．
【分析】（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.40左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.40，
（2）先利用概率的计算公式即可得出红球与白的个数；根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.40，因此接近的常数就是0.4，从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4；
（2）红球有0.4×5=2个，白球有5-2=3个，
摸出一红一白的情况有3+3+2+2+2=12种，
所有的等可能情况有5×4=20种，
P一红一白=．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键；还考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
15．（1）4；（2）17.
【分析】（1）由随机事件的定义，即可求出m的值；
（2）根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为40%，然后根据概率公式计算n的值即可；
【详解】解：（1）∵从盒子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”
∴不透明的盒子中至少有一个红球，
∴m的最大值=，
故答案为：4；
（2）解：由题意得
解之得：n=17；
经检验，是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，随机事件的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出答案．