专题04：代数式-2023中考数学最新模拟试题分项汇编
一、单选题
1．（2023·福建宁德·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·青海西宁·统考一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·云南·统考二模）按一定规律排列的一列数依次为，，，，…，按此规律排列下去，这组数中的第8个数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南·统考二模）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川广安·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·山东威海·统考一模）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川宜宾·校考一模）下列运算正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·福建龙岩·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·河北承德·校联考模拟预测）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　）
A． B． C． D．
15．（2023·江苏扬州·校考二模）下列各式中，计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·山东泰安·统考一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
17．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
18．（2023·四川南充·统考一模）已知 ，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·江苏南京·统考一模）在三边长分别为a，b，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·广东广州·统考一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要3根小木棒，拼第二个图形需要5根小木棒，拼第3个图形需要7根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2023根小木棒，则（　　）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
二、填空题
21．（2023·河南濮阳·统考一模）将大小不一的正方形纸片甲、乙、丙、丁放置在如图所示的长方形内（相同纸片之间不重叠），其中，若正方形“乙”的边长是m，阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为___________．
22．（2023·山西阳泉·统考二模）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形由5个全等的长为a，宽为的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形的面积为，长方形的面积为，设，且当时，不论x取何值，为定值，则a与b的数量关系为______．
23．（2023·广东汕头·统考一模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______．
24．（2023·四川广安·统考二模）若，则代数式的值为______．
25．（2023·福建泉州·统考二模）若m是一元二次方程的根，则的值为_____
26．（2023·全国·模拟预测）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为___________．
27．（2023·安徽马鞍山·校考一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工____________________个零件（用含a的代数式表示）．
28．（2023·上海奉贤·统考二模）计算：________．
29．（2023·江苏扬州·校考二模）已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为_____．
30．（2023·山东泰安·统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行第2行 第3行 第4行 第5行 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是______．
三、解答题
31．（2023·湖北襄阳·统考一模）先化简，再求值：，其中， ．
32．（2023·安徽合肥·统考二模）先化简，再求值：，其中．
33．（2023·重庆九龙坡·统考二模）化简：
(1)
(2)
34．（2023·安徽合肥·校联考二模）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第个图案需要盆花卉，第个图案需要盆花卉，第个图案需要盆花卉，以此类推．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第个图案需要花卉________盆；
(2)第个图案需要花卉________盆（用含的代数式表示）；
(3)已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．
35．（2023·安徽合肥·统考二模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
36．（2023·江西上饶·统考一模）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程：．
第2个方程：．
第3个方程：．
第4个方程：．
(1)按照此规律，请你写出第99个方程：_________．
(2)按此规律写出第n个方程：_________．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
37．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
……
根据以上规律，解决下列问题
(1)写出第六个等式：______
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：
(3)运用：若与的差为2525．求的值．
38．（2023·河北衡水·二模）已知，都是关于的多项式，且，．
(1)求；
(2)若，求的值．
39．（2023·安徽芜湖·统考二模）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

(1)第4个图形对应的等式为______；
(2)若第n个图形对应的黑点总数为个，求n的值．
40．（2023·河北张家口·统考一模）化简整式(P是整式)
(1)求P（用含m的式子表示）；
(2)若，求Q的值．
41．（2023·广东佛山·校考模拟预测）先化简，再求值，其中．
42．（2023·吉林长春·统考一模）先化简，再求值：，其中．
43．（2023·北京东城·统考一模）已知，求代数式的值.
44．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）已知x，y满足方程组求代数式的值．
45．（2023·广东广州·统考一模）已知．
(1)化简M；
(2)若，求M的值．
46．（2023·广东广州·统考二模）已知代数式．
(1)化简A；
(2)若m是方程的根，求A的值．
47．（2023·广东东莞·东莞市虎门第三中学校考一模）先化简，再求值：，其中．
48．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知，求的值．
49．（2023·北京海淀·统考一模）已知，求代数式的值．
50．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）利用乘法公式计算：
(1)．
(2)．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题04：代数式-2023中考数学最新模拟试题分项汇编
一、单选题
1．（2023·福建宁德·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，逐项判断即可．
【详解】解：A．，计算错误，故A选项不符合题意；
B．，计算正确，故B选项符合题意；
C．，计算错误，故C选项不符合题意；
D．，计算错误，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
2．（2023·青海西宁·统考一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，积的乘方、同底数幂的乘法，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方、同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握合并同类项，积的乘方、同底数幂的乘法，完全平方公式是解题的关键．
3．（2023·云南·统考二模）按一定规律排列的一列数依次为，，，，…，按此规律排列下去，这组数中的第8个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数字，可以发现分子和分母的变化规律，从而可以写出第n个数，然后将代入即可求得第8个数，本题得以解决．
【详解】解：∵一列数依次为，，，，…，，
∴第n个数为：；
∴当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出第8个数．
4．（2023·云南·统考二模）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，幂的乘方及积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：A. ，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B. ，原式计算错误，故选项B不符合题意；
C. ，原式计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原式计算错误，故选项D符合题意，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方及积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键
5．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式以及单项式乘单项式等计算法则解答．
【详解】解：A、，原选项计算错误，故本选项不符合题意．
B、，计算正确，故本选项符合题意．
C、，原选项计算错误，故本选项不符合题意．
D、，原选项计算错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
7．（2023·四川广安·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的减法法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方的乘法法则对各项进行计算即可．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．
8．（2023·山东威海·统考一模）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据负整数指数幂，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023·四川宜宾·校考一模）下列运算正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则．
10．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式运算法则计算了结果后，再进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项A计算正确，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，符合题意；
C. ，故选项C计算正确，不符合题意；
D. ，故选项D计算正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
11．（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、负整数指数幂的运算、零指数幂的运算，进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A选项，因为，故A选项错误；
B选项，因为，故B选项错误；
C选项，因为，故C选项错误；
D选项，因为，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、负整数指数幂的运算、积的乘方运算、零指数幂的运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
12．（2023·福建龙岩·统考二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的除法、完全平方公式以及幂的乘方法则逐项判断即得答案．
【详解】解： ，选项A错误，不符合题意；
，选项B错误，不符合题意；
，选项C错误，不符合题意；
，选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算性质、完全平方公式和合并同类项的法则，熟练掌握幂的运算性质是解题关键．
13．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据乘方、同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：，则C满足题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法运算、乘方等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则“底数的幂相乘，底数不变指数相加”是解答本题的关键．
14．（2023·河北承德·校联考模拟预测）若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C．，是整式，故本选项符合题意；
D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
15．（2023·江苏扬州·校考二模）下列各式中，计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，符合题意；
B.，故该选项正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
16．（2023·山东泰安·统考一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得，根据一元二次方程根的定义得到，则，整体代入求解即可．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，
是一元二次方程的实数根，
即，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
17．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，分别求得,即可求解．
【详解】解：设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，
∴，
依题意，，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角的性质，整式的加减，熟练掌握菱形的性质与等边三角的性质是解题的关键．
18．（2023·四川南充·统考一模）已知 ，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将展开得到，再利用完全平方公式即可得到，再整体代入即可作答．
【详解】
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式的值以及完全平方公式．注意计算多项式乘多项式时不要漏项，漏字母．将展开式的多项式利用完全平方公式配成平方式，是解答本题的关键．
19．（2023·江苏南京·统考一模）在三边长分别为a，b，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系，结合勾股定理进行判断即可．
【详解】解：∵a、b、c分别为直角三角形的三条边，且，
∴c为斜边，a、b为直角边，
∴，且，故AD成立，不符合题意；
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，故B成立，不符合题意；
∵，，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，故C不成立，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，如果a、b为一个直角三角形的两条直角边，c为斜边，那么．
20．（2023·广东广州·统考一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要3根小木棒，拼第二个图形需要5根小木棒，拼第3个图形需要7根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2023根小木棒，则（　　）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
【分析】探索遵循的规律是，建立方程计算即可．
【详解】根据题意，遵循的基本规律是第n个图形需要根小木棒，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了整式的加减中规律探索，一元一次方程的解法，熟练掌握探索规律，灵活解方程是解题的关键．
二、填空题
21．（2023·河南濮阳·统考一模）将大小不一的正方形纸片甲、乙、丙、丁放置在如图所示的长方形内（相同纸片之间不重叠），其中，若正方形“乙”的边长是m，阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为___________．
【答案】
【分析】设正方形“甲”的边长是a，则阴影部分“戊”是长为，宽为m的矩形，阴影部分“己”的周长等同于，再求面积差即可．
【详解】解：设正方形“甲”的边长是a，则阴影部分“戊”是长为，宽为m的矩形，阴影部分“己”的周长等同于，
∴阴影部分“戊”的周长为，
∵，
∴阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质和平移的性质等知识，解题的关键是学会用 m , a 表示阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长解决问题．
22．（2023·山西阳泉·统考二模）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形由5个全等的长为a，宽为的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形的面积为，长方形的面积为，设，且当时，不论x取何值，为定值，则a与b的数量关系为______．
【答案】
【分析】根据图形，将和的表达式写出，根据“当时，不论x取何值，为定值”得出含x的项系数为0，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∴，
，
∴
，
∵当时，不论x取何值，为定值，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了正数的混合运算，列代数式，解题的关键是根据图形，列出正确代数式．
23．（2023·广东汕头·统考一模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______．
【答案】11
【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可．
【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，
第2个图形中一共有个圆，
第3个图形中一共有个圆，
第4个图形中一共有个圆；
可得第n个图形中圆的个数是；
，
解得（舍），，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．
24．（2023·四川广安·统考二模）若，则代数式的值为______．
【答案】49
【分析】先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
=
=
=
=
=49．
故答案为：49．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．
25．（2023·福建泉州·统考二模）若m是一元二次方程的根，则的值为_____
【答案】6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
26．（2023·全国·模拟预测）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据题意可得，从而表示出，再由即可得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，
，
解得：，
的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
27．（2023·安徽马鞍山·校考一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工____________________个零件（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题意可得甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是，列出式子化简即可．
【详解】解：甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是．
则乙每小时加工的零件是：．
故答案是：．
【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是根据题意列出代数式．
28．（2023·上海奉贤·统考二模）计算：________．
【答案】
【分析】用积的乘方的计算方法解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查学生对积的乘方的理解，掌握积的乘方的计算方法是解题的关键．
29．（2023·江苏扬州·校考二模）已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为_____．
【答案】
【分析】设矩形的长为a，宽为b，可得，，再利用勾股定可理及完全平方式的变式，即可求解．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，
矩形周长为12，面积为6，
，，
矩形的对角线长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，完全平方式的变式，代数式求值问题，熟练掌握和运用勾股定理及完全平方式的变式是解决本题的关键．
30．（2023·山东泰安·统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行第2行 第3行 第4行 第5行 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是______．
【答案】
【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
【详解】解：观察发现，第行的最后一个数是，第行有个数，
，
在第45行倒数第3个，
第45行有个数，倒数第三个数为87，
表示2023的有序数对是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数字的变化，找到变化规律是解题的关键．
三、解答题
31．（2023·湖北襄阳·统考一模）先化简，再求值：，其中， ．
【答案】，
【分析】先进行多项式乘多项式和多项式除以单项式的运算，再合并同类项，化简后代值计算即可．
【详解】原式
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式的化简求值以及二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
32．（2023·安徽合肥·统考二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则展开，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
33．（2023·重庆九龙坡·统考二模）化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的减法与除法运算，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题关键．
34．（2023·安徽合肥·校联考二模）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第个图案需要盆花卉，第个图案需要盆花卉，第个图案需要盆花卉，以此类推．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第个图案需要花卉________盆；
(2)第个图案需要花卉________盆（用含的代数式表示）；
(3)已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）第个图案需要花卉的盆数为：，第个图案需要花卉的盆数为：，第个图案需要花卉的盆数为：，…，据此可求解；
（2）根据（1）进行总结即可；
（3）可设第个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多盆，结合（2）进行求解即可．
【详解】（1）解：第个图案需要花卉的盆数为：，
第个图案需要花卉的盆数为：，
第个图案需要花卉的盆数为：，
第个图案需要花卉的盆数为：（盆）．
故答案为：．
（2）由（1）可得：第个图案需要花卉的盆数为盆．
故答案为：．
（3）设第个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多盆，
由题意得：，
解得：，
（盆）．
答：该花卉图案中深色花卉的盆数为盆．
【点睛】本题考查图形的变化规律，一元一次方程的应用，列代数式．解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
35．（2023·安徽合肥·统考二模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
36．（2023·江西上饶·统考一模）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程：．
第2个方程：．
第3个方程：．
第4个方程：．
(1)按照此规律，请你写出第99个方程：_________．
(2)按此规律写出第n个方程：_________．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，有实数解，或
【分析】（1）根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是，所以第99方程是.
（2）由（1）可知第n个方程是，利用因式分解法可得：进而即可解答．
【详解】（1）解：第1个方程：．
第2个方程：．
第3个方程：．
第4个方程：．
……
第n个方程：．
∴当时，，
故答案为．
（2）解：第n个方程为，且这个方程有实数解，理由如下：
∵，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
37．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
……
根据以上规律，解决下列问题
(1)写出第六个等式：______
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：
(3)运用：若与的差为2525．求的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案；
（2）根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可；
（3）由与的差为2525，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：，
证明如下：
，
；
（3）解： 与的差为2525，
整理得：，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了找规律-数字类，完全平方式的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键．
38．（2023·河北衡水·二模）已知，都是关于的多项式，且，．
(1)求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，可得，根据整式的加减进行计算即可求解；
（2）根据题意得出，代入（1）的结果进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）∵，，
即
∴
∴
【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
39．（2023·安徽芜湖·统考二模）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

(1)第4个图形对应的等式为______；
(2)若第n个图形对应的黑点总数为个，求n的值．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；
（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
第四个图形总点数可列为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，
每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，
∴第n个图形的点数为：，
∴，
整理得，解得，（舍去），
∴n的值为；
【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．
40．（2023·河北张家口·统考一模）化简整式(P是整式)
(1)求P（用含m的式子表示）；
(2)若，求Q的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的性质可以得到，再进行移项即可得到答案；
（2）先根据求出m的值，再代入化解后的整式求值即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
．
（2）解：∵，
∴，
，
，
即．
【点睛】本题考查等式的性质和整式的代入求值，解题的关键是熟练掌握相关知识．
41．（2023·广东佛山·校考模拟预测）先化简，再求值，其中．
【答案】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的乘法运算化简求值，以及二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．（2023·吉林长春·统考一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
43．（2023·北京东城·统考一模）已知，求代数式的值.
【答案】7
【分析】直接利用乘法公式化简，再结合整式的混合运算法则计算，把已知整体代入得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算 化简求值，正确运用乘法公式计算是解题的关键．
44．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）已知x，y满足方程组求代数式的值．
【答案】
【分析】先解方程组得到x与y的值，再原式利用完全平方公式以及平方差公式化简，去括号合并后，代入x与y计算即可求解.
【详解】解：由得：，
解得：，
代入①得：，
解得：
∵
，
∴．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
45．（2023·广东广州·统考一模）已知．
(1)化简M；
(2)若，求M的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）完全平方公式展开化简计算即可．
（2）根据求得，代入计算即可．
【详解】（1）
．
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，实数的非负性应用，熟练掌握完全平方公式，实数的非负性是解题的关键．
46．（2023·广东广州·统考二模）已知代数式．
(1)化简A；
(2)若m是方程的根，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同分母的分式相加减法则，多项式乘以多项式法则计算即可；
（2）先解方程求出m的值，然后把符合题意的m代入（1）计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：解方程，得，，
由题意知：，解得，
∵m是方程的根，
∴，（舍去）
∴．
【点睛】本题考查分式的加减，整式的加减，解一元二次方程，求代数式的值等知识，掌握相关运算法则，正确计算是解题的关键．
47．（2023·广东东莞·东莞市虎门第三中学校考一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算是解答的关键．
48．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知，求的值．
【答案】2
【分析】将变形得，将化简得，代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
则 ，
，
原式，
，
将 代入得：
原式．
【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的化简求值，整体代入法；解题的关键是掌握整体代入法，并由已知式子的值得到．
49．（2023·北京海淀·统考一模）已知，求代数式的值．
【答案】9
【分析】先推出，再根据完全平方公式去括号，然后合并化简，最后把整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
50．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）利用乘法公式计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在原式前面乘以，即可根据平方差公式求解；
（2）将原式按从左到右的顺序，每两个为一组，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了根据平方差公式进行计算，解题的关键是掌握．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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