2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区重点中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算一定正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线 B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线 D. 赵爽弦图
4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
6. 方程的解为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在直径为的中，延长直径至点，使，是的切线，为切点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 一款手机连续两次降价，由原来的元降到元．设平均每次降价的百分率为，则列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手小时后的速度为每小时千米，甲、乙两选手的行程千米随时间时变化的图象全程如图所示下列说法：
起跑后半小时内甲的速度为每小时千米；
第小时两人都跑了千米；
两人都跑了千米；
乙比甲晚到小时其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 鸡西作为世界上规模最大的优质鳞片石墨蕴藏区之一，被美誉为“中国石墨之都”，已探明资源量吨用科学记数法表示为______ 吨
12. 在函数中，自变量的取值范围是______ ．
13. 计算的结果是______ ．
14. 把多项式分解因式的结果为______．
15. 不等式组的解集是______ ．
16. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是______ ．
17. 一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为______度．
18. 不透明的袋子里装有个红球、个白球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机一次摸出个球，则摸出都是红球的概率是______ ．
19. 在中，为边上的高，，，的面积为，边的长为______ ．
20. 如图，在菱形中，连接，，，则菱形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．
22. 本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，给出了格点顶点是网格线的交点．
将先水平向右平移个单位，再竖直向上平移个单位，得到，请画出、、的对应点分别为、、；
连接，以为对角线，作菱形，且菱形的面积为，请画出菱形在的左侧；
直接写出菱形的周长______ ．
23. 本小题分
清通中学，开展以“过有意义的五一劳动节”为主题的调查活动，围绕“：旅游、：适当学习、：看电影、：在家休息”四项活动，你最喜欢哪一项进行调查必选且只选一项”，首先，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，再将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“看电影”的学生人数占所调查人数的请你根据图中提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若清通中学共有名学生，请你“估计”该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生共有多少名？
24. 本小题分
在菱形中，、分别是边、的中点，连接、．
如图，求证：；
如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个等于的角．
25. 本小题分
子弟小学的嘉嘉和熹熹去文化用品商店购买学习用品嘉嘉用元钱买了支钢笔和本笔记本；熹熹用元买了同款的钢笔支和同款的笔记本本．
求每支钢笔和每本笔记本的价格；
嘉嘉和熹熹组织“伴学互助”小组的同学，捐款购买同款的钢笔和同款的笔记本共件，准备送给生活有困难的同学，已知全组同学捐款不少于元，求最多可以买多少支钢笔？
26. 本小题分
如图，内接于，．
如图，求证：为的直径；
如图，点，在弧上，连接，相交于点，连接，，若，求证：是的角分线；
如图，在的条件下连接，，与相交于点，过点作交延长线于点，与相交于点，若，，，求的长．
27. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知直线交轴于点，交轴于点，．
如图，求直线的解析式；
如图，点为线段上一点，设点的横坐标为，连接，的面积为，求与的函数关系式；
如图，在的条件下，过点作轴的垂线，交的延长线于点，连接，点为第二象限内一点，连接，，，交轴于点，交于点，，当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是．
故选：．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故选：．
由二次函数的顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
是的一条直径，，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，首先根据切线的性质可以得到，又，为的中点，由此可以得到，接着利用的直角三角形的性质可求解．
本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故选D．
设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9.【答案】
【解析】解：，
，选项A正确；
，
∽，
，选项D正确；
，，选项C正确；
，
∽，
，选项错误．
故选：．
根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练利用相似三角形的性质是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：起跑后半小时内甲的速度为千米小时，故正确；
根据函数图象的交点坐标，可得第小时两人都跑了千米，故正确；
根据甲小时跑，可得小时跑，故两人都跑了千米，故正确；
根据小时内，甲半小时跑，可得小时跑，故小时跑了，剩余的需要的时间为小时，根据，可得甲比乙晚到小时，故正确．
故选：．
根据函数图象中已知的数据，运用公式：路程时间速度，速度时间路程，路程速度时间，进行计算即可得到正确结论．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象的横坐标，可得时间，观察函数图象的纵坐标，可得相应的路程．
11.【答案】
【解析】解：吨，用科学记数法表示为吨．
故答案为：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：，
解得：，
解得：．
则不等式组的解集是：．
故答案是：．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间．
16.【答案】
【解析】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限，
则，
解得：．
故答案为：．
由题意得，反比例函数经过一、三象限，则，求出的取值范围即可．
本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一三象限；时，函数位于二四象限．
17.【答案】
【解析】
【分析】
设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解．
本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键，此题难度不大．
【解答】
解：设扇形的圆心角是，
根据题意可知：，
解得，
故答案为．
18.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中其中两次摸出的球都是红球的结果有种，
两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】或
【解析】解：分两种情况考虑：
，，的面积为，
，
，
当在内，如图所示，此时为锐角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
在中，根据勾股定理得：；
当在外，如图所示，此时为钝角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：或．
分两种情况考虑：如图所示，此时为锐角三角形，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可；如图所示，此时为钝角三角形，同理求出的长即可．
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
20.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，
设，
根据勾股定理，得，
在菱形中，，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
菱形的面积为，
故答案为：．
过点作于点，则，根据，进一步可得，设，根据勾股定理，可得的长，根据菱形的性质可得的长，在中，根据勾股定理列方程，可得，根据菱形的面积为求解即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：
，
．
原式
．
【解析】先把除法转化为乘法，利用乘法的分配律，再加减，最后把计算的值代入化简后的代数式．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则及运算顺序是解决本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
若以为对角线，作菱形，
则取格点，，使且即可．
如图，菱形即为所求．
由勾股定理得，，
菱形的周长为．
故答案为：．
根据平移的性质作图即可．
取格点，，使且即可．
利用勾股定理求出的长，再结合菱形的性质可得出答案．
本题考查作图平移变换、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握平移的性质、菱形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
23.【答案】解：名，
答：在这次调查中，一共抽取了名学生；
的人数为：，补全条形统计图如下：
名，
答：“估计”该中学最喜欢在五一期间“旅游”的学生大约共有名．
【解析】根据最喜欢“看电影”的学生人数除以最喜欢“看电影”的学生所占的百分比，即可求出调查总人数；
根据中所求出的总人数减去喜欢，，的人数，即可求出答案；
用全校总学生数乘样本中最喜欢的学生所占的百分比，即可求出答案．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
、分别是边、的中点，
，
在和中，
，
≌，
；
解：连接．
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】证明和所在的和全等即可；
证明是等边三角形，可得结论．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判断和性质以及等腰三角形的判定，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
25.【答案】解：设每支钢笔元，每本笔记本元，
依题意得：，
解得：．
答：每支钢笔元，每本笔记本元．
设购买钢笔支，则购买笔记本本，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：最多可以买支钢笔．
【解析】设每支钢笔元，每本笔记本元，根据“小芳用元钱买了支钢笔和本笔记本；小敏用元钱买了同样的钢笔支和笔记本本”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买钢笔支，则购买笔记本本，利用总价单价数量，结合总价不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】证明：，，
，
，
内接于，
为的直径；
证明：，，，
，
．
，
，
是的角分线；
解：延长，，它们相交于点，如图，
由知：，
，
．
为的直径，
．
在和中，
，
≌，
，
．
为的直径，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
．
过点作于点，
，
．
，
．
，，
，
，
．
在中，
，
，
．
【解析】利用三角形的内角和定理和圆周角定理的推论解答即可；
利用三角形的外角的性质和圆周角定理解答即可；
延长，，它们相交于点，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到；利用圆周角定理，平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到，则；过点作于点，利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用圆周角定理和三角形的外角的性质得到，从而；在中，利用直角三角形的边角关系定理即可求得，再利用勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，等弧对等弦，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质平行线的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，利用已知条件恰当的条件辅助线是解题的关键．
27.【答案】解：直线中，
当时，，
，
，
，
，
当时，，可得：，
解得：，
所以直线的解析式为；
过点作轴于点，
点横坐标为，，
，
，
由得，，
；
过点作于点，于点，作，交延长线于点，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即平分，
，
≌，
，
≌，
，
过点作，交延长线于点，则四边形为正方形，
，延长到点，使，连接，
≌，
，设，
则，，
，
设，则，，，，
在中，，
即，
解得：，舍去，
，，，
过点作于点，
设，则，，，
解得：，
，，
，
．
【解析】先求出直线与轴的交点的坐标，得的长度，再由，求得点的坐标，进而由待定系数法求出的解析式．
用表示出点的坐标，进而用的代数式表示，最后由三角形的面积公式求得与的函数解析式．
过点作于点，于点，作，交延长线于点，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
此题是一次函数综合题，考查待定系数法得出解析式、全等三角形的判定和性质，关键是根据待定系数法得出解析式、全等三角形的判定和性质解答．
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