2023年江苏省盐城市亭湖区、大丰区、阜宁县中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，本大题共有8小题，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．﹣a2 a4＝a6 C．（ab）3＝a3b3 D．（a2）4＝a6
3．（3分）使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x≥1 D．x≤1
4．（3分）为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．航 B．天 C．精 D．神
5．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
8．（3分）在三张透明纸上，分别有∠AOB、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（　　）
①图1，∠AOB的角平分线；
②图2，过点P垂直于直线l的垂线；
③图3，点M与点N的对称中心．
A．① B．①② C．②③ D．①②③
二、填空题（每题3分，本大题共有8小题，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）分解因式：x2﹣9＝　 　．
10．（3分）盐城，一座让人打开心扉的城市．这里生态环境优美，文化底蕴丰厚，交通便捷，以“东方湿地之都，仙鹤神鹿世界”而闻名．盐城湿地面积约769700公顷，将数字769700用科学记数法表示为 　 　．
11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是，，，你认为最适合参加决赛的选手是 　 　（填“甲”或“乙”或“丙”）．
12．（3分）如图，用一个圆心角为150°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　 　．
13．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A1BC1，若点C恰好在线段A1C1上，A1C1∥AB，则∠C1的度数为 　 　．
15．（3分）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，AC＝，则AB的长为 　 　．
16．（3分）在△ABC中，AB＝10，BC＝8，D为边BC上一点，当∠CAB最大时，连接AD并延长至点E，使BE＝BD，则AD DE的最大值为 　 　．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝4．
20．（8分）2023年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 　 　；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）
21．（8分）如图，一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决下列问题：
（1）求慢车和快车的速度；
（2）求线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC；
（2）若BE＝2，CE＝4，求⊙O的半径及AD的长．
23．（10分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如表（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
分组 频数
0≤x＜60 2
60≤x＜70 5
70≤x＜80 15
80≤x＜90 a
90≤x≤100 8
合计 50
b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如表：
年级 平均数 中位数 众数
七 78 79 85
八 81 b 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　．
（2）你认为年级的课后延时服务开展得较好，理由是 　 　．
（至少从两个不同的角度说明理由）
（3）已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．
24．（10分）2023年3月18、19日，盐城市亭湖区中小学生篮球赛在先锋实验学校火热上演．本次比赛为期2天，共有来自全区26所中小学代表队，近270名运动员参加．
如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底箱矩形ABCD在水平地面上，它的高AB为40cm，长BC为200cm，底箱与后拉杆EF所成的角∠DEF＝60°，后拉杆EF长为180cm，支撑架FG的长为182cm，伸臂GH平行于地面，支撑架FG与伸臂GH的夹角∠FGH＝143°，篮筐与伸臂在同一水平线上．
（1）求点F到地面的距离；
（2）求篮筐到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
25．（10分）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时间t（s）之间的函数表达式是：d＝7t，在竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
（1）求小铁球从抛出到落地所需的时间；
（2）当t＝1时，求小铁球P此时的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
26．（12分）如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题．
【操作】在图1中，
①过点D画AC的平行线DE（E为格点）；
②过点B画AC的垂线BF，交AC于点F，交DE于点G，连接AG．
【发现】在图1中，BF与FG的数量关系是 　 　；AG的长度是 　 　．
【应用】在图2中，点P是边MK上一点，在MN上找出点H，使PH⊥MN．
27．（14分）定义：平面直角坐标系中有点Q（a，b），若点P（x，y）满足|x﹣a|≤t且|y﹣b|≤t（t≥0），则称P是Q的“t界密点”．
（1）：①点（0，0）的“2界密点”所组成的图形面积是 　 　；
②反比例函数y＝图象上 　 　（填“存在”或者“不存在”）点（1，2）的“1界密点”．
（2）直线y＝kx+b（k≠0）经过点（4，4），在其图象上，点（2，3）的“2界密点”组成的线段长为，求b的值．
（3）关于x的二次函数y＝x2+2x+1﹣k（k是常数），将它的图象M绕原点O逆时针旋转90°得曲线L，若M与L上都存在（1，2）的“1界密点”，直接写出k的取值范围．
2023年江苏省盐城市亭湖区、大丰区、阜宁县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，本大题共有8小题，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．﹣a2 a4＝a6 C．（ab）3＝a3b3 D．（a2）4＝a6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
B、﹣a2 a4＝﹣a6，故此选项错误；
C、（ab）3＝a3b3，正确；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：C．
4．（3分）为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．航 B．天 C．精 D．神
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答．
【解答】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是天，
故选：B．
5．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】先根据垂径定理得到AD＝BD＝4，再利用勾股定理计算出OD＝3，然后计算OC﹣OD即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，OD＝＝＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：D．
6．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：C．
7．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【分析】将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的方程求解即可．
【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0
得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．
故选：C．
8．（3分）在三张透明纸上，分别有∠AOB、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（　　）
①图1，∠AOB的角平分线；
②图2，过点P垂直于直线l的垂线；
③图3，点M与点N的对称中心．
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
【解答】解：①经过点O进行折叠，使OA与OB重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
二、填空题（每题3分，本大题共有8小题，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
10．（3分）盐城，一座让人打开心扉的城市．这里生态环境优美，文化底蕴丰厚，交通便捷，以“东方湿地之都，仙鹤神鹿世界”而闻名．盐城湿地面积约769700公顷，将数字769700用科学记数法表示为 　7.697×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：769700＝7.697×105．
故答案为：7.697×105．
11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是，，，你认为最适合参加决赛的选手是 　甲　（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
【解答】解：∵甲、乙、丙三人的平均成绩都是88.9，
又∵方差1.82＜2.51＜3.42，
∴甲的成绩更稳定，所选甲，
故答案为：甲．
12．（3分）如图，用一个圆心角为150°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　2.5　．
【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解答】解：扇形的弧长＝，
设圆锥的底面半径为R，则2πR＝5π，
所以R＝2.5．
故答案为：2.5．
13．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为　　．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．
故答案是：．
14．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A1BC1，若点C恰好在线段A1C1上，A1C1∥AB，则∠C1的度数为 　70°　．
【分析】首先根据旋转的在可以得到∠A＝∠A1，然后利用平行线的性质可以得到旋转角的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝40°，△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A1BC1，
∴∠A＝∠A1＝40°，CB＝CB1，
∵A1C1∥AB，
∴∠A1＝∠ABA1＝40°，
∴∠CBB1＝∠ABA1＝40°，
∴∠C1＝∠C1CB＝70°．
故答案为：70°．
15．（3分）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，AC＝，则AB的长为 　或1或3　．
【分析】根据题意可分四种情况：当∠A＝2∠B＝90°时；当∠A＝2∠C＝90°时；当∠B＝2∠C时；当∠C＝2∠B时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC是“倍角三角形”，
∴分四种情况：
当∠A＝2∠B＝90°时，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝，
当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得AB＝AC＝，
当∠B＝2∠C时，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝2∠C，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∵AC＝，
∴AB＝＝＝1，
当∠C＝2∠B时，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠C＝60°，
∴AB＝AC＝3，
综上所述：AB的长为或1或3．
故答案为：或1或3．
16．（3分）在△ABC中，AB＝10，BC＝8，D为边BC上一点，当∠CAB最大时，连接AD并延长至点E，使BE＝BD，则AD DE的最大值为 　32　．
【分析】以B为圆心，BC为半径画圆，得到当∠ACB＝90°时，∠CAB最大；设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x，过点B作BF⊥DE于点F，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到AD DE与x的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
【解答】解：以B为圆心，BC为半径画圆，如图，
由图形可知，当AC与⊙B相切时，∠CAB最大，此时∠ACB＝90°．
设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x．
过点B作BF⊥DE于点F，
∵BE＝BD，
∴DF＝EF＝ED．
∵∠ACD＝∠BFD＝90°，∠ADC＝∠BDF，
∴△ACD∽△BFD，
∴＝，
∴AD DF＝CD BD，
∴AD ED＝（8﹣x） x，
∴AD DE＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，即BD＝4时，AD DE有最大值为32．
故答案为：32．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣1+2+1﹣2×
＝﹣1+2+1﹣
＝．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
由＞1得x＞，
由4x﹣5≤3x+2得x≤7，
故不等式组的解集为＜x≤7．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）
＝
＝
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
20．（8分）2023年盐城市初中毕业升学体育考试有必考项目立定跳远和一项选考项目，男生选考项目为掷实心球或引体向上，女生选考项目为掷实心球或仰卧起坐．
（1）小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为 　　；
（2）小明（男）和小红（女）分别从选考项目中任选一个，求两人都选择掷实心球的概率．（用树状图或列表法写出分析过程）
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人都选择掷实心球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵男生选考项目为掷实心球或引体向上，
∴小明（男）从选考项目中任选一个，选中引体向上的概率为．
故答案为：．
（2）设掷实心球记为A，引体向上记为B，仰卧起坐记为C，
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两人都选择A．掷实心球的结果有1种，
∴两人都选择掷实心球的概率为．
21．（8分）如图，一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决下列问题：
（1）求慢车和快车的速度；
（2）求线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由函数图象的数据，根据速度＝路程÷时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论；
（2）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离＝速度和×时间就可以求出C点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
快车与慢车的速度和为：1200÷6＝200（km/h），
慢车的速度为：1200÷15＝80（km/h），
快车的速度为：200﹣80＝120 （km/h）．
答：快车的速度为120km/h，慢车的速度为80km/h；
（2）由题意得，快车走完全程的时间为：1200÷120＝10（h），
10时时两车之间的距离为：200×（10﹣6）＝800（km）．
则C（10，800）．
设线段CD的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
则y＝80x，自变量x的取值范围是10≤x≤15．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC；
（2）若BE＝2，CE＝4，求⊙O的半径及AD的长．
【分析】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCE＝∠OCA，接着证明OC∥AD，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；
（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，所以OE＝5，AE＝8，OC＝3．再证明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCB+∠BCE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCE＝∠OCA，
∵OC⊥ED，AD⊥ED，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠BCE＝∠CAD；
（2）解：设⊙O半径为r，
则OC＝r，OE＝r+2，
在Rt△OEC中，
∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
∴OE＝5，AE＝8，OC＝3．
∵OC∥AD，
∴△OCE∽△ADE，
∴，
即，
解得：AD＝．
23．（10分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如表（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
分组 频数
0≤x＜60 2
60≤x＜70 5
70≤x＜80 15
80≤x＜90 a
90≤x≤100 8
合计 50
b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如表：
年级 平均数 中位数 众数
七 78 79 85
八 81 b 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　20　，b＝　82.5　．
（2）你认为年级的课后延时服务开展得较好，理由是 　（答案不唯一，言之有理即可．）
八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级；
八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分　．
（至少从两个不同的角度说明理由）
（3）已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．
【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频数之和为50即可求出a的值，利用中位数的定义可求出八年级得分的中位数，即m的值；
（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；
（3）求出家长的评分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解．
【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣5﹣15﹣8＝20，
b＝（82+83）÷2＝82.5．
故答案为：20，82.5；
（2）八年级的课后延时服务开展得较好，理由如下：（答案不唯一，言之有理即可．）
八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级；
八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分．
（3）＝336（名），
答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．
24．（10分）2023年3月18、19日，盐城市亭湖区中小学生篮球赛在先锋实验学校火热上演．本次比赛为期2天，共有来自全区26所中小学代表队，近270名运动员参加．
如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底箱矩形ABCD在水平地面上，它的高AB为40cm，长BC为200cm，底箱与后拉杆EF所成的角∠DEF＝60°，后拉杆EF长为180cm，支撑架FG的长为182cm，伸臂GH平行于地面，支撑架FG与伸臂GH的夹角∠FGH＝143°，篮筐与伸臂在同一水平线上．
（1）求点F到地面的距离；
（2）求篮筐到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【分析】（1）过点F作FM⊥AD于点M，延长FM交BC于点N，在Rt△EMF中，利用，求出FM的长，证明四边形ABNM是矩形，求出MN＝AB＝40cm，即可得到点F到地面的距离；
（2）延长HP，NF交于点P，在Rt△PFG中，利用，求出PF，即可得到篮筐到地面的距离．
【解答】解：（1）过点F作FM⊥AD于点M，延长FM交BC于点N，
在Rt△EMF中，，
∴．
∵∠A＝∠ABC＝∠AMN＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝40cm，
∴．
答：点F到地面的距离约为196cm．
（2）延长HP，NF交于点P，
∵，
∴∠P＝∠FME＝90°，
在Rt△PFG中，，
∴PF＝GF×sin∠PGF＝182×sin37°≈109.2（cm），
∴．
答：篮筐到地面的距离约为305cm．
25．（10分）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时间t（s）之间的函数表达式是：d＝7t，在竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
（1）求小铁球从抛出到落地所需的时间；
（2）当t＝1时，求小铁球P此时的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据题意可知，当小铁球落地时，此时下落高度h＝OA＝44.1（m），解出t的值即可；
（2）由t＝1，分别先算出d和h的值，则此时点P横坐标与d的值相同，然后根据h的值和OA的长算出此时的纵坐标，即可求出此时的坐标；
（3）根据（1）中条件求出点B的坐标，然后根据顶点坐标A设出解析式，再把点B代入即可算出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，OA的高度为44.1m，且竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2，
∴当h＝44.1时，小铁球落到地面，
∴4.9t2＝44.1，解得：t1＝3，t2＝﹣3（舍），
答：小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；
（2）当t＝1时，则d＝7×1＝7，
h＝4.9×12＝4.9，
∴yp＝44.1﹣4.9＝39.2，
∴小铁球P此时的坐标为（7，39.2）；
（3）由（1）可知小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒，
∴d＝7×3＝21，
∴OB＝21（m），即B（21，0），
根据题意可得，顶点坐标为A（0，44.1），
∴可设抛物线解析式为：y＝ax2+44.1，
将点B（21，0）代入得：441a+44.1＝0，
解得：a＝，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+44.1（0≤x≤21）．
26．（12分）如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题．
【操作】在图1中，
①过点D画AC的平行线DE（E为格点）；
②过点B画AC的垂线BF，交AC于点F，交DE于点G，连接AG．
【发现】在图1中，BF与FG的数量关系是 　BF＝GF　；AG的长度是 　　．
【应用】在图2中，点P是边MK上一点，在MN上找出点H，使PH⊥MN．
【分析】（1）【操作】根据题意作图即可；
（2）【发现】BC＝CD＝3结合AC∥DE可得BF＝GF．由可求得BF＝GF，CF的长，再在Rt△AFG中利用勾股定理计算AG的长度即可；
（3）【应用】利用等腰三角形的对称性及三线合一作图即可．
【解答】解：（1）【操作】
如图所示，DF，BF，AG即为所求．
（2）【发现】∵BC＝CD＝3，AC∥DE，
∴，
∴BF＝GF，
∵，
∴BF＝3CF，
∵CF2+BF2＝BC2，
∴CF2+（3CF）2＝32，
解得，，
∵，
∴，
在Rt△AFG中．
故答案为：BF＝GF，．
（3）【应用】
如图所示，点H即为所求．
27．（14分）定义：平面直角坐标系中有点Q（a，b），若点P（x，y）满足|x﹣a|≤t且|y﹣b|≤t（t≥0），则称P是Q的“t界密点”．
（1）：①点（0，0）的“2界密点”所组成的图形面积是 　16　；
②反比例函数y＝图象上 　存在　（填“存在”或者“不存在”）点（1，2）的“1界密点”．
（2）直线y＝kx+b（k≠0）经过点（4，4），在其图象上，点（2，3）的“2界密点”组成的线段长为，求b的值．
（3）关于x的二次函数y＝x2+2x+1﹣k（k是常数），将它的图象M绕原点O逆时针旋转90°得曲线L，若M与L上都存在（1，2）的“1界密点”，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）①根据“t界密点”的定义得到取值范围，根据取值范围得到图象的边长进而得到图形的面积；
②根据“t界密点”的定义得到取值范围，根据取值和反比例函数的的性质即可得到结论；
（2）根据题意得到点（2，3）的“2界密点”的取值范围分两种情况，再根据一次函数的性质及图象即可得到结论；
（3）根据（1，2）的“t界密点”的取值范围，再根据二次函数的性质及图象即可得到得到结论．
【解答】解：（1）①设点（0，0）的“2界密点”为（a，b），
∴|0﹣a|≤2，|0﹣b|≤2，
∴﹣2≤a≤2，﹣2≤b≤2，
∴所组成的图形是边长为4的正方形，
∴点（0，0）的“2界密点”所组成的图形面积是4×4＝16，
故答案为：16；
②设点（1，2）的“1界密点”为（m，n），
∴|1﹣m|≤1，|2﹣n|≤1，
∴2≥m≥0，3≥n≥1，
∴当m＝2，n＝3时，在反比例函数y＝图象上，
故答案为：存在；
（2）
设点（2，3）的“2界密点”为（x，y），
∴0≤x≤4，1≤y≤5，
①当直线y＝kx+b（k≠0）与左边界相交时，
∵E（4，4），DE＝，
∴（b﹣4）+42＝（）2，
解得b＝3或b＝5，
∴直线直线y＝kx+b不可能和上边界相交，
②当直线y＝kx+b与下边界相交时，
∵点D（4，4），点C的坐标为（4，1），
∴CD＝3，
∵BD＝，
∴BC＝，
∵AC＝4，
∴，
∵∠OAB＝∠BCD，∠ABO＝∠CBD，
∴△AOB∽△CDB，
∴，
∴b＝4﹣3，
综上所述，b的值为3或5或4﹣3；
（3）如图，
设点（1，2）的“t界密点”为（x，y），
∴0≤x≤2，1≤y≤3，
∵x的二次函数y＝x2+2x+1﹣k（k是常数），将它的图象M绕原点O逆时针旋转90°得曲线L，M与L上都存在（1，2）的“1界密点”，
∴由图象可知，抛物线x的取值在0≤x≤2之间时，M与L都存在（1，2）的“1界密点”，
∴当抛物线经过点（2，1）时，k有最大值8，
∵图象M绕原点o逆时针旋转90°得曲线L，
∴当抛物线经过点（1，0）时，k有最小值4，
∴4≤k≤8．