2023年初中毕业生学业水平调研测试
数学
说明：1、全卷共4页，满分120分，测试用时为90分钟。
2.答卷前，在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、姓名、测试试室号、座位号、测试号。用2B铅笔将测试号相应号码的标号涂黑。
3.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5.务必保持答题卡的整洁。测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回。
6.填涂的正确方法是：
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园。六个月的飞天之旅展现了中国航天技术的新高度。其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列有关四个数5，，7，中说法错误的是（ ）
A.5的相反数是 B.的结果是
C.的倒数是 D.最大的数是7
3.央行发布数据，2023年第一季度我国人民币贷款增加10.6万亿元，同比多增2.27万亿元。数据10.6万亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
4..光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如题4图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.数据2，4，8，5，3，5，5，4的众数和中位数分别是（ ）
A.4.5，5 B.5，4.5 C.5，4 D.5，5
6.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A.1 B.1或 C. D.0.5
7.下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如题8图，AB是的直径，若，，则BC长等于（ ）
A. B.4 C. D.5
9.如题9图，点A、B、O都在格点上，则的正切值是（ ）
A. B. C. D.
10.二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表：
x ... 0 3 ...
y ... n 2 n ...
对于下列结论：①；②2是方程的一个根；③当时，y随x的增大而减小；④若，且点，在该二次函数的图像上，则；⑤对于任意实数n，都有.其中正确结论的序号是（ ）
A.①②③ B.①②④⑤ C.①③④ D.②③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
11.化简：______.
12.分解因式：______.
13.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm.则菱形的面积为______.
14.已知，则代数式的值为______..
15.如题15图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，则点D到直线BC的距离是______..
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16.解不等式组：
17.先化简，再求值：，其
18.如题18图，BD为平行四边形ABCD的对角线，，点E、F在BD上，求证：
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19.我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，台山某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）九年级1班共有学生______名；
（2）九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人
（3）该校德育处决定从九年级1班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率.
20.某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等.
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠.如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯
21.如题21图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与y轴相交于点C.
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）直接写出：不等式解集是______.；
（3）依据相关数据求的面积.
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22.如题22图，AB是的直径，C为上一点，D为外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足，.
（1）证明：直线CD为的切线；
（2）射线DC与射线BA交于点E，若，，求BD的长.
23.抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m.
图1 图2
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如题23图1，连接AC，AP，PC，若是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如题23图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值。
2023年初中毕业生学业水平调研测试
数学
一、选择题
1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C
7.D 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
8.A
9.C 【分析】过点B作于点C，连接AB并延长，过点O作交AB延长线于点D，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，从而求出OC，BC，即可的正切值.
【详解】解：如图，过点B作于点C，连接AB并延长，过点O作交AB延长线于点D，
在中，
，，，
由勾股定理可知：，
同理，在中，由勾股定理可知：，
设，
在中，由勾股定理可知：；
同理，在中，，，
，
，
，
解得：，即，
，
，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理.
10.B 【分析】根据表格信息求出二次函数的对称轴，已知，就可判断b的正负；根据函数的对称性，分析出也在该二次函数上，所以②正确；对称轴，根据函数的增减性判断，时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；根据函数的增减性即可判断出④正确；根据对称轴，求出时，该函数取得最大值，即可推出最后结论.
【详解】解：二次函数（a，b，c为常数，），
该函数图像开口向下，
由表格可知，对称轴为直线，
，故①正确，符合题意；
点在二次函数的图像上，
点也在二次函数的图像上，
2是方程的一个根，故②正确，符合题意；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意；
若，且点，在该二次函数的图像上，则，故④正确，符合题意；
对称轴为直线，
，
，
，
当时，该函数取得最大值，
对于任意实数n，都有，
即，
，
，故⑤正确，符合题意.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据已知条件求出对称轴，判断在其对应定义域内的增减性是解答本题的关键.
二、填空题
11.
12.
13.24
14.11
15.2
三、解答题（一）
16.解：解不等式①，得
解不等式②，得
故原不等式组的解为
17.解：原式
把代入原式
故原式
18.证明：四边形ABCD是平行四边形
，，
，
在与中
，
，即
四、解答题（二）
19.（1）40 （2）180人 （3）
【小问1详解】
解：由图可知，选择A类的学生有4人，占总人数的10%，
因此九年级2班共有学生（名）；
故答案为：40；
【小问2详解】
解：B类学生人数为（人），
D类学生人数为（人），
（人）；
估计九年级学生选择D类的大约有180人.
【小问3详解】
解：画树状图如下：
所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8，
抽到的一男一女的概率为.
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用树状图法求概率.从统计图中有效的获取信息，熟练掌握树状图法求概率的方法，是解题的关键.
20.解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元，
根据题意得
解得
经检验，是原方程的解
所以
答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得：
解得
答：公司最多可购买20个该品牌的台灯.
【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系.
21.（1），；（2）或；（3）
解：（1）反比例函数的图象过，
，
反比例函数的解析式为：，
点在反比例函数图象上，
，，点A的坐标为，
将点A，B坐标代入一次函数中，
得，解得，
一次函数的解析式为：.
（2）根据图象可知，不等式的解集是：或.
故答案为：或；（注：写对一个给1分）
（3）过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，如下图所示：
一次函数与y轴相交于点C，
C点坐标为，，
A点坐标为，，
B点坐标为，，
.
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键.
五、解答题（三）
22.【详解】（1）证明：连接OC，
，，
，，
，，
又，
，
，，
，，
，
AB是的直径，，
，CD为的切线；
（2）解：过B作交ED于点F，
，，
，，
，，
，，
根据勾股定理可得，
，，
，
，
BD的长是；
23.解：（1）将代入得
抛物线方程为
令，解得或，
又点在直线上，
解得
（2）作轴交于M
点P的横坐标为m，
，
在和中，
，
，
即
解得或（舍去）
（3）作轴交BC于点N，过点N作轴交于点E
轴，
，
，，
，
由得
即
当时，的最大值是.