2022-2023学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 使代数式有意义的的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B.
C. ，， D. ：：：：
4. 若函数是一次函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 某排球队名场上队员的身高单位：是：，，，，，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大
6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
7. 已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱圈，正好从点绕到正上方的点，已知知圆柱底面周长是，高为，则所需彩带最短是．( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，则下列说法：若，则四边形为矩形；若，则四边形为菱形；若四边形是平行四边形，则与互相平分；若四边形是正方形，则与互相垂直且相等其中正确的个数有个．( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数单位：环及方差单位：环如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______．
甲 乙
12. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
13. 已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的值是______ ．
14. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： 填“”“”或“”．
15. 如图，四边形是菱形，，，点是边上的一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. ；
．
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
年月日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
求图中的 ，本次调查数据的中位数是 ，本次调查数据的众数是 ；
该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
若该校共有名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
18. 本小题分
如已知：如图，四边形中，，，且试求的度数．
19. 本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．
求证：四边形为矩形；
若，，求菱形的面积．
20. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与直线相交于点，点的横坐标为，直线与轴交于点．
求、的值；
根据图象可得，关于的不等式的解集是______ ；
若点在轴上，且满足，直接写出点的坐标．
21. 本小题分
某商店销售型和型两种型号的电脑，销售一台型电脑可获利元，销售一台型电脑可获利元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍．设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．
求与的函数关系式；
该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
若限定该商店最多购进型电脑台，则这台电脑的销售总利润能否为元？请说明理由．
22. 本小题分
如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为，将矩形沿着折叠，使点落在边上的点处．
求点的坐标；
求的长度；
点是轴上一动点，是否存在点使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
23. 本小题分
实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形的边的交点，再将纸片还原．
初步思考：若点落在矩形的边上如图．
当点与点重合时， ______ ，当点与点重合时， ______ ；
当点在上，点在上时如图，求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
深入探究：点与点重合，点在上，线段与线段交于点如图是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义条件可得，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，且，
解得：且，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
本题主要考查了二次根式的乘除法、加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
3.【答案】
【解析】解：A.，，，是直角三角形，故本选项不符合题意
B、，，，能判定为直角三角形，不符合题意
C、，，，，符合勾股定理的逆定理，能判定为直角三角形，不符合题意
D、设，，，，不能判定为直角三角形，符合题意
故选：．
根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理即可求出答案．
本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式．
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】
解：原数据的平均数为，
则原数据的方差为，
新数据的平均数为，
则新数据的方差为，
所以平均数变小，方差变小，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质．
根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可．
【解答】
项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误
项，菱形对角线不相等，故B项错误
项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误
项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故D项正确，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限．
故选：．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、四象限．
8.【答案】
【解析】解：如图，线段即为所需彩带最短，
由图可知，，
由勾股定理得，
，
故选：．
把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．
本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
故选项正确，
故选：．
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．
10.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，
在中，，
是的中点，
．
故选：．
连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
11.【答案】乙
【解析】解：甲、乙射击成绩的平均数相等，
乙的方差甲的方差，
乙发挥稳定，
故答案为：乙．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为．
先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式得到，然后解方程即可．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】
【解析】解：若一次函数的图象经过第二、三、四象限，
则得到，
解得．
根据一次函数的性质求解．
解决本题可以根据已知条件将其转化为解方程组的问题．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
是直角三角形，
，，
，
故答案为：．
根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后分别求出的面积和的面积，即可求解．
本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
于点，于点，
四边形是矩形，
连接，则，
当时，的值最小，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由条件可知四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，可由求出的值即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解决问题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先算括号里，再算括号外，即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
中位数为第与个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为，
故答案为：，，；
此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时；
人，
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【解析】解：，
，
中位数为第与个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为，
故答案为：，，；
见答案；
见答案．
用劳动时间为小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
用乘以小时及以上的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，中位数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】解：如图，连接．
，，
是等腰直角三角形，
，，
又，，，
，
为直角三角形，
，
．
【解析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握勾股定理逆定理证明为直角三角形是解题关键．，
连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理逆定理可得为直角三角形，即可求得．
19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点，
，即．
四边形是矩形．
解：菱形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
．
菱形的面积为．
【解析】先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过点，
，
一次函数的图象与直线相交于点，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
即，
把点代入中，得，
因此，；
一次函数的图象与直线相交于点，点的横坐标为，
观察图象可知，关于的不等式的解集为；
故答案为：；
，，
，
又，
，
点在轴上，且满足，
，
则，
那么点的坐标是或．
利用待定系数法即可求、的值；
根据图象即可得关于的不等式的解集；
分两种情况，确定点在轴上，且满足，即可求出点的坐标．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行，结合一次函数图象解决问题是关键．
21.【答案】解：由题意可得，
，
即与的函数关系是．
型电脑的进货量不超过型电脑的倍，
，
解得，，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，．
答：该商店购进型、型电脑分别为台、台时，才能使销售利润最大，最大利润是元；
不能，
理由：由知，，
，限定该商店最多购进型电脑台，
当时，取得最小值，此时，
，
若限定该商店最多购进型电脑台，则这台电脑的销售总利润不能为元．
【解析】根据题意，可以写出与的函数关系式；
根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍．可以求得的取值范围，再根据中的结果，一次函数的性质，即可解答本题；
根据一次函数的性质和的取值范围，可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】解：，四边形是矩形，
，
，代入得到，
直线的解析式为，
令，得到，
，．
在中，，，
，
，
设，
在中，，
，
，
如图作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时的周长最小．
，
，
设直线的解析式为，则有
解得
直线的解析式为，

【解析】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，难度较大
根据点的坐标确定的值，利用待定系数法求出点坐标即可解决问题；
在中，，，，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；
如图作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小．利用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题；
23.【答案】
【解析】解：如图，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，；
故答案为：；；
如图，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
时，设 ，则 ，
则 ，
解得，
，
所以菱形边长为 ．
存在使得线段与线段的长度相等的情况，理由如下：
如图中，连接 ．
，
≌，
，设 ，则 ，
则 ，
，，
，
，
，
．
根据折叠的性质，得到等角，进而求解；
由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形，设，，勾股定理求得，得菱形边长为．
如图中，连接 可证≌，于是，设 ，则 ，中，运用勾股定理，，解得，．
本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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