2022-2023学年福建省泉州市重点中学高一（下）期中联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 中，，，则为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6. 如图，某同学运用数学知识测算东西塔塔尖，的距离，该同学选择地面上一点为观测点，测得西塔的塔尖仰角为，东塔的塔尖仰角，且，，，则塔尖、的距离为( )
A. B. C. D.
7. 不等式，对于任意恒成立，则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，与交于，设，，，则为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设复数，，下列说法正确的是( )
A. B. 的虚部是 C. 是纯虚数 D.
10. 已知向量，，则( )
A. 与夹角为 B.
C. 在上的投影向量是 D. 在上的投影向量是
11. 下列命题中正确的是( )
A. 中，若，则
B. 锐角中，不等式恒成立
C. 中，若，则是等腰直角三角形
D. 中，，则是等腰三角形
12. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 是函数的一条对称轴
B.
C. 在上有个实数解
D. 若，则函数在上单调递增
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 复数为纯虚数，则实数的值是______ ．
14. 函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是______ ．
15. 如图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面垂直于水平面的面对称，，均视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，记，为测量单位，测得，的长度为______ 用含的式子表示
16. 设点在单位圆的内接正六边形的边上，点为六边形上不同于的任意一点若数量积的结果构成集合，则集合的元素最少有______ 个；的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
求解：
化简：；
画出函数在区间上的图象．
18. 本小题分
已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
求的值；
若，且，求的值．
19. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求面积的最大值．
20. 本小题分
已知函数的最小正周期为．
求函数的解析式；
将图象上所有的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，再将图象向左平移个单位，得到函数的图象，是否存在？对于任意的，，当时，恒成立，若存在，求的取值范围．
21. 本小题分
在酷暑来临之前，安溪某公司计划在该集团一处院子修建避暑山庄，以作为合作伙伴“四大集团”的集中研讨地院子门前两条夹角为即的小路，之间要修建一处弓形花园，弓形花园弦长，弓形花园顶点，且，记．
用表示的长度；
要在点修建喷泉，为获得更好的观景视野，如何规划花园两条小路，长度，才能使喷泉与山庄的距离最大？
22. 本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
设函数，记最大值为，最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：终边过点，
，
．
故选：．
根据任意角三角函数定义可求得，结合诱导公式可求得结果．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，因为，，所以，故A错误；
对于，因为，所以，故B错误；
对于，因为，，
又，所以，故C错误；
对于，因为，，
又，所以，即，故D正确．
故选：．
利用三角函数的性质，结合诱导公式，对选项逐一分析判断即可．
本题考查了三角函数线的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，
直接利用同角三角函数关系式求出，，再由，运用两角和的余弦函数公式求出结果．
【解答】
解：已知：，
所以：，故：，
，所以：，
则：
故选D．

4.【答案】
【解析】解：如图所示，区域和区域面积相等，
故阴影部分的面积即为矩形的面积，根据图形可得，
设函数的最小正周期为，则，
由题意可得：矩形的面积为，解得，
故，可得，即，
可知的图象过点，即．
，则，
，解得．
故选：．
根据正切型函数的对称性分析可得，进而可求得，再代入点，运算求解即可．
本题主要考查正切函数的图像和性质，用割补法求图形的面积，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则在的平分线上，
又，
的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，且，
又，则，则，
又，所以，
所以，可得，所以是等腰直角三角形．
故选：．
根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出、，即可得的形状．
本题主要考查三角形的形状判断，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题得在中，，
，
在中，，
，
则在中，由余弦定理得
，
．
故选：．
由题意得，，利用余弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为对于，任意恒成立，
而，所以对于恒成立，
设，，
则不等式即为在恒成立，
即在恒成立．
而在上单调递减，所以当时，有最小值，
，即实数的最大值是．
故选：．
由任意可知，从而原问题等价于对于恒成立，利用换元法令，不等式可整理为在恒成立，得，利用分离常数法结合对勾函数的单调性即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
同理向量还可以表示为，
根据平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的
则对应系数相等可得解得，所以，
故选A．
根据，，利用、、三点共线和、、三点共线分别表示出向量，根据平面向量基本定理可求出、的值．
本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，复数不能比较大小，错；
对于，的虚部是，对；
对于，不是纯虚数，错；
对于，，对．
故选：．
对于，复数不能比较大小，可判断；对于，根据复数的虚部的定义可判断；对于，根据纯虚数的定义可判断；对于，计算即可判断．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知向量，，
则，，
对于选项A，因为，，
令与夹角为，
所以，
又，
所以与夹角不为，
故选项A错误；
对于选项B，
由平面向量数量积的坐标运算可得，
所以，
故选项B正确；
对于选项C，因为，，
所以在上的投影向量是，
故选项C正确；
对于选项D，，，
所以在上的投影向量是，
故选项D错误．
故选：．
根据向量的坐标运算求出，，即可计算夹角判断项；计算即可判断项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断、项．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量夹角的运算及投影向量的运算，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：，，由正弦定理可得，A正确；
对于：在锐角中，，，，
则，
，B正确；
对于：在中，若，
由正弦定理可得，，
又，，，或，
则或，故是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于：，，
即，
，即，，故是直角三角形，
显然，并不能确定是否为等腰三角形，D错误．
故选：．
A.利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；利用以及余弦函数的性质来判断；先利用正弦定理边化角，然后利用倍角公式变形得，关系，进而可得三角形的形状；利用平面向量数量积的运算法则得到，从而得以判断．
本题考查解三角形问题，向量数量积的运算，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由图可知，最小正周期，
所以，
对于，因为，所以，
所以，即，
又，所以，此时，B错误；
对于，令，则，，
当时，，A正确；
对于，因为，，
所以在上有个实数解，
又的最小正周期，
所以在上有个实数解，
又，，
所以在上有个实数解，
故在上有个实数解，C正确；
对于，，所以，
当时，，
又，即，所以
所以，
令，则，所以，
而在此区间不单调，所以函数在上不单调，D错误．
故选：．
由图象可知周期，从而求得，可判断；由求得，令求解可判断；利用余弦函数的性质结合周期可判断；由复合函数的单调性可判断．
本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为复数为纯虚数，
所以，解得．
故答案为：．
根据纯虚数的定义即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
因为函数在区间上存在最小值，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
由，，求出，再根据题意可得，从而可得答案．
本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意作出示意图，如图所示，
由题意，，，
在中，，
即，
，
又，
解得，
，
在中，，
．
故答案为：．
根据题意作出示意图，在中，利用余弦定理求得，，在中利用余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由正六边形的对称性知：当点在，在时，数量积的结果个数最少，
即，，，
所以集合的元素最少有个．
如图所示，以圆心为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以直线的斜率，即直线的方程为，
设，则，
，，
，，
，
所以，
因为在上，则，
则，
又，则，
所以的取值范围是，
故答案为：；．
根据正六边形的对称性得到数量积的最少结果个数，再以圆心为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，从而得到直线的方程，设，得到，结合条件得到的取值范围，即可求解．
本题考查向量数量积的基本运算，向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
17.【答案】解：
；
计算填表：
描点，连线，可得图象如下：

【解析】按照基本诱导公式结合奇变偶不变，符号看象限法则化简即可；
分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形．
本题主要考查了运用诱导公式化简求值和五点法作函数的图象，属于基础题．
18.【答案】解法：
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
，
；
，
，，
．
法：
；
，所以，
因为，，，所以，
而，
所以与重合，
所以．
【解析】本题考查向量的数量积、实数值的求法，考查向量数量积公式、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
法一：以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法能求出结果．
，由，能求出结果．
法：利用向量数量积公式直接求解；
，从而，而，但，与重合，由此能求出结果．
19.【答案】解：，
，
由正弦定理得，
又在中，，
即，
又，则，
又，则；
由得，
由余弦定理得，即 ，当且仅当时，等号成立，
故，
，
面积的最大值为．
【解析】利用两角和差的三角函数可得，再利用正弦定理进行边化角，即可得出答案；
由余弦定理和基本不等式求出的范围，结合面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：
，
又，，解得，
所以．
由题意可得，
设
，
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
因为，
所以，
，，，，
当时，，则不存在，
当时，，则不存在，
所以不存在，对于任意的，，当时，恒成立．
【解析】利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由即可求解．
由三角函数的平移变换可得，设，将不等式化为在区间上单调递减，只需即可．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为在区间是单调递减函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力．
21.【答案】解：由题意作出图形，如图所示：
在中，由正弦定理得，
则，
，；
，，
，
在中，由余弦定理得
，
，
，
当，即时，取得最大值，
，
，
即当时，喷泉与山庄之间的距离最大．
【解析】在中，利用正弦定理，即可得出答案；
在中，利用正弦定理求得，在中，由余弦定理得，化简后利用正弦函数的性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，定义域为，
所以当，即时，函数取得最小值为．
由得，
，
，
则，
令，则，
因此，
因为函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，
所以在上，函数单调递增，故单调递增，
则，
因为，即有，解得，
而函数，即在定义域内不存在零点，
显然，即，，
且由得，
所以函数的定义域为，
于是原问题转化为函数在上无零点，即的最大值小于恒成立，
显然当时，，有，解得，
综上：，故实数的取值范围为．
【解析】利用三角函数的辅助角公式化简函数，从而得解；
利用中函数求出，换元并结合单调性求出的最值，再利用对数函数性质与恒成立问题的解法求解即可．
本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于难题．
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