人教A版（2019）必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．1
2．已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
4．关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱
5．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
6．我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线在的部分曲线以轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（ ）．
A．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥
B．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为，底面是一个两直角边均为4的直角三角形
C．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥
D．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为和4的矩形
7．如图，在一个正方体中，E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）
A． B． C． D．
8．在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12π B．8π C．6π D．4π
9．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
10．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
13．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成______个三棱锥．
14．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______.
15．已知一个棱长为的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则的最大值为__________.
16．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为______．
17．已知两个圆锥有公共底面，且底面半径，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为，则球的半径___________.
三、解答题
18．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1．
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
19．已知四棱锥的底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为，计算它的高和侧面三角形底边上的高．
20．一个圆锥的底面半径为R，高为．
(1)用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台，其上下底面面积之比为，求圆台上下底面之间的距离；
(2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．
21．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
如图截面为，P为MN的中点，设，，进而可得面积最大值.
【详解】
如图所示，截面为，P为MN的中点，设
,
当时，，此时截面面积最大.
故选：A
易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.
2．C
确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.
【详解】
如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、，
，为的中点，则，
平面，平面，，
，平面，
、分别为、的中点，则且，平面，
平面，所以，平面平面，
所以，平面即为平面，设平面交于点，
在直棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
且，且，所以，四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面，
设平面平面，平面，所以，，，
，所以，四边形为平行四边形，可得，
所以，为的中点，
延长交于点，，所以，，，
又，所以，，，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，，
，，，，为的中点，
，，则，
为的中点，，则，同理，
因为直棱柱的棱长为，为的中点，，
由勾股定理可得，同理可得，
且，平面，平面，
平面，，
、分别为、的中点，则，，
由勾股定理可得，同理.
因此，截面的周长为.
故选：C.
思路点睛：本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
3．C
根据定义逐项分析即可
【详解】
对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
故选：.
4．D
直接利用棱柱的定义判断选项即可．
【详解】
棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
5．A
由题可求圆锥的母线长为2，结合条件即求.
【详解】
如图，由题可知，，
又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，
∴，即，
在中，.
故选：A.
6．B
先求得红酒杯在高度为h处的截面面积，再分别求得选项A、B、C、D中几何体在高度为h处截面的面积，结合祖暅原理，即可得答案.
【详解】
由题意得，该红酒杯上口径为2，则上面圆的面积为，
设A点的纵坐标，如图所示：
因为A点在抛物线上，所以，即高度为h处，红酒杯水平截面圆半径为，
所以截面圆的面积为：.
对于A：底面圆的半径为2，面积为，
在高度为处作圆锥的水平截面圆，半径为CD，再作出圆锥的轴截面，如图所示：

所以，AB为圆锥底面直径，所以，，
根据可得：，解得，
所以高度为h处，圆锥的截面圆半径为，
所以截面圆的面积为，故A不符合题意.
对于B：直三棱柱上面面积为，
在高度为处作棱柱的水平截面DEFG，如图所示：
所以，因为，
根据，可得，
所以高度为h处的截面DEFG的面积为，符合题意；
对于C：圆柱上底面圆的面积为，
在高度为处作该几何体的水平截面圆，作出该几何体的轴截面，如图所示
，
所以，GH为圆锥截面圆的半径，，
根据可得：，
所以，
所以截去圆锥的截面面积为，
则所剩几何体的截面面积为，故C不符合题意；
对于D：底面的面积为，
在高度为处作棱锥的水平截面EFGH，如图所示：
所以三棱锥的高为h，的高为4，，
根据可得：，
所以，
所以截面EFGH的面积为.故D不符合题意.
故选：B
解得的关键是理解祖暅原理，即作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，根据圆锥、圆柱、棱柱、棱锥的性质，逐一求得截面面积，即可得答案，考查分析理解，空间想象，计算求值的能力，属中档题.
7．D
根据条件可得平面经过点，然后可得答案.
【详解】
连接
因为E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点
所以，所以平面经过点
所以多面体的正视图为
故选：D
8．C
由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.
【详解】
如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，
∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，
故选：C.
9．C
将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；
【详解】
解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，
故选:C.
10．C
设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.
【详解】
设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为，
由正弦定理可得，，
又，所以，为等边三角形，则，
因此，、两点间的球面距离为.
故选：C.
思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.
11．A
根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.
【详解】
①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；
②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；
③中底面不一定是正方形，所以③不正确；
④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.
故选：A
12．B
连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解.
【详解】
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
13．3
画出图形，由图即可求出．
【详解】
如图，三棱台可分割成三棱锥，三棱锥，三棱锥，共3个.
故答案为：3
14．
根据勒洛四面体和正四面体的对称性，由正四面体的外接球的球心为勒洛四面体内切球的球心，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去其外接球的半径求解.
【详解】
解：如图所示：
设O为底面的中心，为其外接球的球心，半径为R，
由勒洛四面体和正四面体的对称性知: 为勒洛四面体内切球的球心，
由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R，
则，
在中，，
解得，
所以该勒洛四面体内切球的半径是 ，
故答案为：
15．##
根据给定条件求出圆锥的内切球半径，再求出此球的内接正方体的棱长即可作答.
【详解】
正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，
底面半径为2，母线长为4的圆锥轴截面正的内切圆O是该圆锥内切球O截面大圆，如图，
正的高，则内切圆O的半径即球半径，
于是得球O的内接正方体棱长a有：，解得：，
所以的最大值为.
故答案为：
关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
16．3π
将正四面体放入正方体中求出体对角线的长度,即可得外接球半径,进而根据余弦定理求出最大的高度,进而截面最小.
【详解】
如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外
接球即正方体的外接球，设球心为O，球的半径为R，则
∴ ,，,在中,，
当垂直于截面时,此时截面最小,则截面圆的半径，∴截面面积的最小值为.
故答案为:
17．
利用圆锥同底面的条件以及圆锥的性质（顶点的投影为底面的圆心）结合高度之比，设出球心和球的半径，列出方程即可求解.
【详解】
设球心为，两个圆锥的顶点分别为、，底面圆心为.
连接交圆面于点，且过球心，在圆上任取一点，连接、.
不妨设，则.
则球的直径为，半径，所以，
又由题知，则在中，由勾股定理得，即.
解得，则球的半径为.
故答案为：.
方法点睛：处理与球的半径有关问题时，常常会用到如下的模型；
若平面不过球心，即此时截得的圆是以为圆心，以为半径的球的小圆．如上图，设，垂足为，记，对于平面与球面的任意一个公共点，都满足，则有，则可求.
18．（1）是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析；（2）截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1．
（1）根据棱柱的定义判断即可；
（2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可.
【详解】
（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱；
（2）截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1．
19．四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为．
由题意：底面是面积为16的正方形 ，侧面是全等的等腰三角形，说明该几何体是正四棱锥．由正四棱锥的性质即可求解．
【详解】
如下图所示:
作为四棱锥的高，
作于点，
则为的中点．
连接，则，．
底面正方形的面积为16，
，．
则．又，
在中，由勾股定理，可得
．
在中，由勾股定理，可得
，
即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为．
本题考查了正四棱锥的性质的运用以及计算能力．属于基础题．关键是根据已知判定为正棱锥，根据正棱锥的性质求出高和斜高.
20．(1)
(2)
（1）由圆台的结构特征直接求出；
（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x，作出圆台的直截面，利用三角形相似求出，建立四棱柱的表面积的表达式，利用二次函数求最值.
(1)
由圆台的结构特征可知，圆台上底面的半径为，设截去的小圆锥的高为h，则，解得．
所以圆台上下底面之间的距离为．
(2)
如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，由于，
则，即，解得．
因为正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为，
所以，四棱柱的表面积为．
当时，正四棱柱的表面积S有最大值，即．
21．（1）；（2）．
（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示，
则的长就为最短路线，由勾股定理求出，再比较即可求解；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，求和即可
【详解】
（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，
则经过的最短路程为，
，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，
由，
所以最长路程是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页